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Progresion 9

Pro gre sión 9

Conceptualiza el área de una superficie y deduce fórmulas para calcular áreas de figuras geométricas simples como rectángulos, triángulos, trapecios, etc., utilizando principios y propiedades básicas de geometría sintética.

Metas

M2

Desarrolla la percepción y la intuición para generar conjeturas ante situaciones que requieren explicación o interpretación.

M2

Analiza los resultados obtenidos al aplicar procedimientos algorítmicos propios del Pensamiento Matemático en la resolución de problemáticas teóricas y de su contexto.

M4

Argumenta a favor o en contra de afirmaciones acerca de situaciones, fenómenos o problemas propios de la matemática, de las ciencias o de su contexto.

Categorías

C1

Procedural.

C2

Procesos de intuición y razonamiento.

Subcategorías

S2

Elementos geométricos.

S1

Capacidad para observar y conjeturar.

S2

Pensamiento intuitivo.

S3

Pensamiento formal.

Índice
Conceptos clave
Introducción
Polígonos

Regulares

Irregulares

Círculo

Deducción de fórmulas
para calcular el área de
figuras geométricas
planas

Conceptos clave

Punto. Suele ser representado por un círculo, no tiene dimensiones.
Recta. Conjunto infinito de puntos.
Plano. Superficie de dos dimensiones.
Espacio. Todo lo que nos rodea.
Congruencia. Dos figuras F y G son congruentes si una de ellas puede ser movida y coincide con la otra.
Segmentos.Un segmento es aquel "trozo" de recta que, a diferencia de esta, sí tiene principio y final.

Introducción

Entiéndase a la geometría sintética como la rama matemática que se encarga de estudiar las propiedades de aquellas figuras que existen en el espacio, esto en base a una serie de ideas llamados "primitivos", y a una serie de de proposiciones que se dan por ciertas, siendo estas proposiciones los "postulados". Lo anterior posibilita las conclusiones acercade de tales figuras.

Esta geometría se caracteriza porque inutiliza los sistemas numéricos.

Esta geometría se relaciona con la llamada geometría euclidiana , puesto que esta última es un ejemplo del uso del método sintético en el estudio de las figuras. Para saber un poco más... Euclides trabajó en una obra titulada "Los elementos", en la cual establece 5 postulados y en base a ellos se estudian las propiedes de elementos unidimensionales como la línea y los planos, bidimiensionales como tríangulos y círculos, y tridimensionales como conos y esferas.

Un sistema abstracto se compone de dos tipos de objetos relacionados singularmente entre ellos. En este tratamiento hay que tener claros 4 conceptos primitivos: punto, recta, plano y espacio. Dichos conceptos ya fuero explicados al principio.

Polígonos

Un polígono propiamente es una porción del plano delimitada por una serie de rectas. La etimología de la palabra "polígono" se deriva a los vocablos griegos "poly" y "gonos", es decir, el polígono es una figura con varios ángulos.

Estas figuras son bidimensionales puesto que únicamente tienen don dimensiones: largo y ancho.

Para el estudio de la progresión, se verá la clasificación de polígonos regulares e irregulares, de los cuales se verán las fórmulas para calcular su área. Empero, antes de, veremos las características o elementos de un polígono, independientemente de si es regular o no.

Lado. Cada una de las líneas que limitan un ángulo o un polígono.

Apotema. Perpendicular pasada desde el centro de un polígono irregular a uno de sus lados.

Ángulo interno. Se trata de un ángulo comprendido dentro de un polígono formado por 2 lados que tienen un vértice en común.

Vértice. Punto en que concurran los 2 lados de un ángulo.

Regulares

Estos polígonos tienen todos sus lados y ángulos iguales, además que de que se encuentran dentro de una circunferencia. A continuación se muestran los distintos polígonos regulares que existen:

Los polígonos de 3 a 20 lados se denominan con el prefijo según la cantidad de lados que tengan. Cuando la figura sobrepasa los 20 lados únicamente se llama "polígono de n lados".

Irregulares

Caso contrario a los anteriores, estos polígonos no tienen lados o ángulos iguales, de ahí que se llamen "irregulares". Generalmente suelen tener formas un poco raras o "chuecas", aunque es importante distinguir que figuras conocidas como los rombos, romboides o trapecios son polígonos irregulares, puesto que únicamente dos de sus lados son iguales mas no todos.

Para el caso de la progresión actual, únicamente se tomarán en cuenta los polígonos irregulares cuadriláteros.
¿Y qué es un cuadrilatero?
Un cuadrilátero es aquel polígono de 4 lados.

Círculo

Asimismo, en las figuras que se trabajarán para calcular el área también se incluirá el círculo, el cual no es un polígono sino la superficie delimitada por una circunferencia; esto quiere decir que la circunferencia y el círculo no son sinónimos, o sea, no son lo mismo.

A continuación, se describen los elementos de un círculo

Circunferencia. Curva cerrada y plana cuyos puntos equidistan (se sitúan a igual distancia) de otro punto interior llamado centro.

Arco. Porción de la circunferencia comprendida entre 2 puntos.

Radio. Recta que une un punto de una circunferencia con su centro.

Diámetro. Segmento de recta que, pasando por el centro de una circunferencia tiene sus extremos en 2 puntos de la misma; además, divide al círculo en 2 partes iguales.

Cuerda. Segmento que une 2 puntos de una circunferencia sin que estos pasen por el centro de la misma. La cuerda siempre es menor al diámetro.

Deducción de fórmulas para calcular el área de figuras geométricas planas

Rectángulo

El área de un rectángulo (y de cualquiera figura bidimensional) se determina en centímetros cuadrados (cm²). Para visualizar mejor esto veamos el ejemplo con el siguiente rectángulo:

Lo dividimos según las medidas de base y altura hasta . obtener una especie de reja que permita contar la cantidad de cuadrados que se generan. Si contamos los cuadrados tenemos 6 cm².

Suponiendo que mida 3x2
Así, se puede indicar la siguiente formula: $área = a b$

Cuadrado

Los cuadrados tienen lados iguales, por lo tanto, su base y altura miden las mismas unidades. Por ello se deduce la siguiente fórmula:
$área= l^{2}$

Triángulo

Cuando se traza una diagonal en un rectángulo obtenemos dos triángulos, así, podemos decir que un triángulo es la mitad de un rectángulo.

Por ello llegamos a la siguiente fórmula: $área = \frac{bh}{2}$

Romboide

El romboide podemos verlo de forma chusca como un rectángulo ladeado, nótese que si trazamos un segmento de uno de los vértices superiores a la base, se traza un triángulo.
Y si ese triángulo lo cambiamos al lugar donde pareciera que falta una pieza, completamos un rectángulo.

Es por eso que el área de un romboide se calcula como:

área = a b

Rombo

El rombo se distingue por las dos diagonales que posee internamente (mayor-vertical y menor-horizontal). Véasen las regiones en esas partes se pueden ubicar en otras posiciones, logrando formar un rectángulo y evidenciando que es la mitad del mismo al igual que el triángulo.

La base corresponde al valor de la diagonal menor y la altura corresponde a la diagonal mayor/2. De lo anterior se deduce que:

área = \frac{dD}{2}

Trapecio

Dependiendo del tipo de trapecio sus lados van a variar. Hay que girar el trapecio a fin de formar un romboide para basarse en su fórmula. Una vez hecho lo anterior, la base es la suma del lado a + el lado c, esto es, la base mayor sumada a la base menor.

Como sólo queremos la mitad de ese romboide se divide entre 2. Finalmente deducimos: $área = \frac{(a+c)h}{2}$

Pentágono

Para visualizar, dividamos el pentágono en 5 triángulos, cuya fórmula es ab/2.

Para escribir el área de esta figura sólo se requiere conocer la altura de uno de los triángulos que conforman al pentágono, en este caso se le conoce como "apotema", la base corresponde a uno de los lados del pentágono. Se multiplica 5 veces el área del triángulo y así:

área = \frac{5(ba)}{2}

Polígono regular

Finalmente, para deducir el área de un polígono regular nos basamos en el análisis anterior, sólo que esta vez en lugar de 5 tenemos la variable n que representa la cantidad de lados. Del mismo modo podemos notar que n multiplicado por la base es igual al perímetro, por lo tanto:

área = \frac{(n)(b)(a)}{2}

Circulo

Para deducir la fórmula del círculo, hay que recordar la fórmula para calcular el área de un polígono.

a = \frac{p a}{2}

Como se puede ver en la imagen, al sobreponer un polígono sobre el círculo, se puede ver que el área de ambas figuras es muy similar, sólo que la del círculo es un poco más grande.

En el polígono tenemos a la apotema, es decir, la distancia que hay del centro de la figura hasta uno de sus lados (línea completa), la cual es muy similar al radio, el cual se define como la distancia entre el centro de la circunferencia y cualquier punto de su perímetro.

Tomando esto en cuenta, podemos sustituir en la fórmula de área para polígonos regulares: $a = \frac{p r}{2}$

Otro punto a observar, es que el perímetro del polígono es similar al del círculo, esto por ejemplo se ve en polígonos con más lados como en la ilustración de al lado.

En el polígono regular, su perímetros corresponde a la suma de la medida de sus lados, en cuanto al círculo, su perímetro se calcula con la siguiente fórmula: $p = π d$

Donde:
π = 3.1416...
d = diámetro, el cual es el doble del radio, es decir 2r = $p = π 2 r$

Teniendo la fórmula del perímetro, la sustituímos en la fórmual del área de un polígono regular:

a = \frac{π 2 r r}{2}

El número 2 lo podemos cancelar y efectuamos la multiplicación de radios, teniendo así la fórmula final para el área del círculo. $á r e a = π r^{2}$

Ejercicios

1. Calcular el área de las siguientes figuras geométricas

Área

2. Seleccione la opción correcta.

a. Se tiene un cudrado cuyo lado mide 7 cm ¿Cuál es su área?
28cm²
49cm²
42cm²
14cm²

b. La base de un rectángulo mide 30 m, la altura está dada por la siguiente ecuación: x + 2*8 = 30 - x ¿Cuál es su área?
210m²
84m²
7m²
220m²

c. Se tiene un romboide cuya base mide 34 cm y la altura el doble de la base menos 15 ¿Cuál es su área?
1156cm²
2312cm²
1752cm²
1802cm²

d. Observe la imagen de la derecha. La base de los triángulos blancos mide 2 metros, la base menor del trapecio mide 7 metros y la altura del mismo mide 3.5 metros ¿Cuál es el área?

63m²
28m²
31.5m²
32.5m²

e. Se tiene un rombo cuya diagonal mayor mide 84 cm y cuya área es igual a 254 ¿Cuánto mide la diagonal menor?
6.5cm
5.83cm
4.2cm²
5.83cm²

f. Observe la siguiente figura ¿Cuál es el área?

35.2u²
70.4u²
70.2u²
35.1u²

g. ¿Cuál es el área de un heptágono cuya apotema mide 5.6 cm y cuyos lados miden 7.9 cm?
143.5cm²
309.68cm²
253.01cm²
154.84cm²

h. ¿Qúe es mayor? ¿El área de un rectángulo con 4.9 metros de base y 13.45 metros de altura o un rombo con diagonal mayor de 20 metros y diagonal menor de 13 metros?
Rectángulo
Rombo
Iguales

i. El área de un triángulo es de 43.23 cm². Si se tiene un optágono que está formado por triángulos de ese tipo ¿Cuál es el área del octágono?
345.84 cm²
340.25 cm
172.92cm²
361.78cm²

j. ¿Cuál es el área de la siguiente figura?

216.44u²
253.104u²
25.01u²
174.14u²

Resumen

Finalmente, dejamos un formulario que recolecta las fórmulas que dedujimos.

Figura	Fórmula
Cuadrado	$área= l^{2}$
Rectángulo	$área = a b$
Triángulo	$área = \frac{bh}{2}$
Romboide	$área = a b$
Rombo	$área = \frac{dD}{2}$
Trapecio	$área = \frac{(a+c)h}{2}$
Polígono regular	$área = \frac{(n)(b)(a)}{2}$

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¿Listo para la prueba final? ¡Recuerda tomar tu tiempo para contestar cada enunciado! Esta vez serán tomados en cuenta para comparar tu progreso.

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