Conceptos clave

Desigualdad. Ausencia de similitudes.

Sistemas de ecuaciones. Conjuntos de ecuaciones con mismas incógnitas.

INECUACIONES

Al hablar de inecuaciones nos referimos una diferencia, puesto que cuentan con una comparación, no como en las ecuaciones donde se cuenta con un signo de igualación, entre las inecuaciones se encuentran varios ejemplos:

1.- x+y<3
2.- 2x²-2x > 0
3.- 10y-2y²/2 < 5
4.- 2x - 3y/2 < 0
5.- 7x + 3y > 12y/5

Para resolver una inecuación primero se necesita despejar una incógnita, en este caso utilizaremos la expresión “x+y<3”, al despejar la “y” se pasa al otro lado, todo lo que le impida estar sola convirtiéndolo a su opuesto, con esto nos referimos a que si es una suma se pasa restando, si es una resta se pasa sumando, si es una división se hará una multiplicación, etc; como en este caso la “x” se encuentra sumando a la “y” entonces se pasará al lado del 3 como negativa, dando un resultado de y= 3-x.

Ahora le daremos tres valores a x, es recomendable que sea uno negativo, uno neutro y uno positivo, para mayor comprensión se puede realizar una tabla de valores, que se llenara con los valores de “x” y “y”:

x	-1	0	2
y

Ahora para obtener los valores de “y” realizaremos la ecuación de su despeje con cada valor de x:

1.- y= 3- (-1)
y= 3+1
y= 4

Se comenzó con el valor negativo de “x” dando como resultado que “y” vale 4; continuamos haciendo lo mismo con los valores neutro y positivo.

2.- y= 3 -0
y= 3

3.- y= 3 - 2
y= 1

Dichos valores serán los puntos en un plano cartesiano, y después los uniremos con una línea recta:

Para comprobar que lado del plano cartesiano es la solución tendremos que confirmar por medio de seleccionar un punto ya sea de la parte inferior (la cual es la parte inferior izquierda del lado de la línea) o de la superior (la mitad que parte la línea que se encuentra del lado superior derecho), en este caso, elegiremos el punto (0,0) que se encuentra dentro de la sección inferior:

0 + 0 <3 Al notar que se cumple la condición podremos ver que la solución es la parte inferior, lo mismo pasaría si lo confirmaremos con otro punto como el (1,1):

1 + 1 < 3
Ahora para corroborar sustituiremos los valores con algún punto de la sección superior, para confirmar que la parte inferior es la solución:

Punto: 1,3

1 + 3 < 3

No es posible, confirmando que la solución es la sección inferior.

Para mayor comprensión realizaremos otro ejemplo de la lista, “2x+2y > 0”.

Comenzamos despejando la “y”, siendo esta la literal más sencilla de liberar.

2x+2y > 0
2y > 0 - 2x
y > 0 - 2x / 2

Continuamos realizando la tabla de valores, eligiendo un valor negativo, uno neutro y uno positivo.

x	-1	0	1
y

y > 0 - 2x / 2
y > 0 - 2(-1) / 2
y > 0 + 2 / 2
y > 0 + 1

y > 0 - 2x / 2
y > 0 - 2(0) / 2
y > 0 - 2(0) / 2
y > 0 - 0 / 2

y > 0 - 2x / 2
y > 0 - 2(1) / 2
y > 0 -2 / 2
y > -1

x	-1	0	1
y	1	0	-1

Ahora podremos colocar los puntos en el plano cartesiano, quedando de esta manera:

Ahora veremos qué lado de la recta es la solución, si el superior (recordando que es la mitad para arriba, esto es la parte donde se encuentra la parte superior derecha o en algún caso, la izquierda) o el inferior; tomaremos un punto de la parte superior, elegiremos el (1,1) para comenzar a sustituir valores

y > 0 - 2x / 2
1 > 0 - 2(1) / 2
1 > 0 -2 / 2
1 > -1

La condición se cumple pero haremos otro punto para confirmar, esta vez será (3, 2)

2 > 0 - 2(3) / 2
2 > 0 - 6 / 2
2 > - 3

Cumpliendose por segunda vez la condición, de tal manera confirmamos que el lado superior es la solución de esta inecuación, ahora ¿recuerdas que pasa con el otro lado al sustituir valores? como lo puedes recordar o deducir la condición no se cumplirá, tomaremos para este caso el punto (-1,-2):

-2 > 0 - 2(-1) / 2
-2 > 0 + 2 / 2
-2 > 1

La condición no se cumple, el -2 no podría ser mayor que 1, corroborando que el lado superior es la solución de esta inecuación.

Inecuaciones con dos incógnitas

Si en las ecuaciones solamente hay un igual entonces es una igualdad, pero si tiene el signo mayor que igual que, comprobamos que es una inecuación, además de que contienen dos incógnitas y son distintas, como la “x” y “y”.

De manera que se resuelven haciendo cada una de las inecuaciones por separado por ejemplo, resolveremos las inecuaciones “4x + 3y ≥ 6” y “x - 2y ≥ -3”.

4x + 3y ≥ 6
x - 2y≥ -3

Como primer paso tenemos que despejar alguna incógnita elegiremos la que gusten, esta vez elegiremos “y”:

El despeje se hace de la manera que conocemos, dejar sola a la literal para encontrar una respuesta.

4x + 3y ≥ 6 Comenzando por cambiar al otro lado la suma con 4x.
3y ≥ 6 -4x Pasando a restarle al 6. Ahora solamente queda despejar a la y del 3, lo pasaremos como división.
y ≥ 6 -4x / 3 Finalmente tenemos a la “y” despejada, una inecuación lista para ser resuelta.

Continuaremos realizando una tabla de valores, esto con intención de comprender de mejor manera los valores de “x” y “y”, estaremos jugando con sus valores, digamos que al poner algún valor a “x”, veremos cómo afecta a “y” y qué valor tendrá en base a “x” (ayudándonos con la fórmula anterior)

x	-1	0	3
y	7.33	6	2

y ≥ 6 -4x / 3
y ≥ 6 -4(-1) / 3
y ≥ 6 + 4 / 3
y ≥ 6 + 1.33
y ≥ 7.33

y ≥ 6 -4x / 3
y ≥ 6 -4(0) / 3
y ≥ 6 -0 / 3
y ≥ 6 - 0

y ≥ 6 -4x / 3
y ≥ 6 -4(3) / 3
y ≥ 6 -12 / 3
y ≥ 6 - 4
y ≥ 2

Ejercicios

Resuelve los siguientes ejercicios de inecuaciones

1.- x - y ＜-2

y	-1	2	5
x

Superior

Inferior

2.- x - y ＞10

y	-12	-10	-5
x

Superior

Inferior

3.- x + 2y ＜ 4

y	-1	0	4
x

Superior

Inferior

4.- 2x - 3y ＞ 8

y	-2	0	6
x

Superior

Inferior

Recordemos que una ecuación es aquella que contiene un signo de igual.

Con ecuación lineal nos referimos a las ecuaciones de primer grado, las que no contienen potencias o raíces cuadradas en ella, en sí es una ecuación simple.

Resolver ecuaciones lineales de dos incógnitas es sencillo, hay varios métodos para resolverlas, te enseñaré 3, el método de sustitución, el método de igualación y el método de reducción.

MÉTODO DE SUSTITUCIÓN

El método de sustitución como su nombre indica se basa en sustituir los valores en las ecuaciones, para ello primero necesitamos despejar una letra de la ecuación, de ese modo comenzamos a sustituir valores.

Para dejar claro el método se presentan tres ejemplos para explicar de mejor manera el cómo elaborarlo.

Antes de comenzar a despejar y sustituir valores, debemos identificar cual es nuestra ecuación 1 y 2, para no confundirnos después. 1.- 2x + 3y= 12
2.- 4x + y= 14

Al momento de elegir una letra para despejar se recomienda ir por la más sencilla, entonces, en lugar de ir por la x del 4x, iremos por la del 2x, si hay letras sin números como en el caso de la "y" es mejor ir por ellas primero.

Despejamos "y" de la ecuación 2:
4x + y= 14
y= 14-4x

Al tener un valor de y, lo podremos sustituir dentro de la otra ecuación, como despejé en la segunda sustituiré en la primera:
2x + 3y= 12
2x + 3(14-4x)= 12

De esta manera ya podemos comenzar a resolver la ecuación:
2x + 3(14-4x)= 12
2x + 42 - 12x= 12
-10x + 42= 12
-10x= 12 - 42
-10x= -30
x=

\frac{-30}{-10}

x=3

Ahora reemplazamos valores en cualquiera de las dos ecuaciones:
2x + 3y = 12
2(3) + 3y=12
6 + 3y = 12
3y= 12-6
3y= 6
y=

\frac{6}{3}

y= 2

Ahora sabemos que “x” vale 3 y “y” vale 2.

Haremos la comprobación de dicho resultado:
2x + 3y= 12
4x + y= 14

2(3) + 3(2)= 12
4(3) + 2= 14

6 + 6 = 12
12 + 6 = 14

Para comprender de mejor manera este método realizaremos otro ejemplo.

Comenzamos seleccionando la ecuación 1 y la 2.
5x + 2y = 48
-x - 4y = -42

En este caso despejaremos 2y de la primera ecuación.
5x + 2y = 48
2y = 48 - 5x
y =

\frac{48 - 5x}{2}

Como se despejó en la primera ecuación ahora sustituiremos el valor que obtuvimos de “y” en la segunda.
-x - 4y = -42
-x - 4 (

\frac{48 - 5x}{2}

) = -42

Empezando a resolver la nueva expresión.
-x - 4 (

\frac{48 - 5x}{2}

) = -42
-x +

\frac{-192 + 20x}{2}

= -42
-x -96 +10x = -42
-96 + 9x = -42
9x = -42 + 96
x =

\frac{54}{9}

x = 6

Ahora al contacto con el valor de “x” podemos obtener fácilmente el valor restante para enseguida comprobar los resultados.

Elegimos la ecuación que deseemos.
5x + 2y = 48
5(6) + 2y = 48
30 + 2y = 48
2y = 48 - 30
y =

\frac{18}{2}

y = 9

Finalmente al contar con el valor de ambas literales comprobamos que es correcto sustituyendo ambos en la ecuación.
5x + 2y = 48
5(6) + 2(9) = 48
30 + 18 = 48

Comprobando que el resultado fue correcto.

Para reforzar aún más los conocimientos actuales se colocará un último ejemplo de este método.

Repitiendo los mismos pasos, elegiremos la ecuación 1 y la 2.
10x + 20y = 420
8x - 13y = -99

Siempre podemos elegir el que deseemos, lo recomendable es el más sencillo pero elegiremos despejar la “x” de la primera ecuación.
10x + 20y = 420
10x = 420 - 20y
x =

\frac{420 - 20}{10}

Siguiendo con los pasos ahora vamos a sustituir la x en la segunda ecuación y la resolveremos.
8x - 13y = -99
8(

\frac{420 - 20}{10}

) - 13 y = -99

\frac{3360-160y}{10}

- 13y = -99
336 - 16y - 13y = -99
-29y = -99 - 336
-29y = -435
y =

\frac{-435}{-29}

y = 15

Ya que contamos con el valor de y seguiremos con reemplazarlo en alguna ecuación para obtener el resultado de x.
10x + 20y = 420
10x + 20(15) = 420
10x + 300 = 420
10x = 420 - 300
10x = 120
x =

\frac{120}{10}

x = 12

Para comprobarlo sustituiremos ambos valores en una ecuación.
8(12) - 13(15) = -99
96 - 195 = -99

Comprobamos que el resultado es correcto.

Ejercicios

MÉTODO DE REDUCCIÓN

Como su nombre indica lo que se busca en este método es el reducir lo máximo posible una ecuación esto se logra mediante la igualación de dos números, con uno de ellos negativo para poder eliminarlo, te explicare paso a paso como:

Primero debemos de tener las ecuaciones organizadas:

5x - 2y = 38
20x +4y = 44
Como se puede observar no hay dos números iguales con signo diferente, asi que buscaremos un número que multiplicado por alguno de la ecuación 1, de un número de la ecuación 2 con diferente signo:

5x - 2y = 38 (podemos observar que el -2y multiplicado por 2, nos dara -4y, número que tenemos en la siguiente ecuación)
20x +4y = 44

Multiplicaremos toda la primera ecuación por 2, recuerden que se tiene que multiplicar toda, independientemente de si solamente ocupamos el -2y:
(5x - 2y = 38) 2
20x +4y = 44
10x - 4y = 76
20x +4y = 44

Ahora podremos eliminar las y mediante una operación para sumar ambas ecuaciones:
10x - 4y = 76

\frac{20x +4y = 44}{30x= 120}

Al solo contar con una ecuación podremos resolver “x”, la incógnita que tenemos:
30x= 120
x=

\frac{120}{30}

x=4

Ahora solamente sustituimos el valor de “x” en cualquier ecuación:
5x - 2y = 38
5(4) - 2y = 38
20 - 2y= 38
-2y= 38-20
-2y= 18
y=

\frac{18}{-2}

y= -9

Ahora vamos a comprobar el resultado:
5x - 2y = 38
20x +4y = 44
5(4) - 2(-9) = 38
20(4) +4(-9) = 44
20 +18 = 38
80 - 36 = 44

Comprobamos que es el resultado correcto.

Realizaremos otro ejemplo para entender con mayor claridad este método.

Primero debemos de tener organizadas las ecuaciones.

2x + y = 10
-2x + 3y = 6

En el ejemplo anterior vimos que al no tener dos expresiones del mismo valor pero diferente signo, tuvimos que multiplicar una de las ecuaciones para convertirla, en este caso contamos con 2x y -2x por lo cual no será necesaria la multiplicación y comenzaremos a aplicar el método de reducción.

2x + y = 10

\frac{-2x + 3y = 6}{0 + 4y = 16}

Al contar con una ecuación de una sola incógnita podremos resolver “y” para después resolver “x”.
4y = 16
y =

\frac{16}{4}

y = 4

Ahora obtendremos “x” al sustituir “y” en alguna ecuación.
2x + y = 10
2x + 4 = 10
2x = 10 - 4
x = 6/2
x = 3

Para comprobar nuestros resultados realizaremos ambas ecuaciones, como hicimos en el ejemplo anterior:
2x + y = 10
-2x + 3y = 6

2(3) + (4) = 10
-2(3) + 3(4) = 6

6 + 4 = 10
-6 + 12 = 6

El resultado es correcto.

A continuación presentaremos un ejemplo de que hacer cuando no contamos con algún valor que multiplicado por otro me de el que se encuentra en la otra expresión (como en el ejemplo 1) o que no haya algún valor que se pueda reducir directamente.

Por ejemplo:
-7x + 11y = 30
2x + 3y = 16

Como se puede observar aunque multipliquemos algún valor a una sola ecuación no podremos resolverlo así, de manera que la forma de resolverlo se vuelve a multiplicar la ecuación de arriba por un coeficiente de la segunda y viceversa (este valor debe de ser de la misma literal).

2(-7x + 11y = 30) Utilizaremos los coeficientes de x
7(2x + 3y = 16)

-14x + 22y = 60
14x + 21y = 112

De tal manera que ahora podremos continuar con el proceso anterior.
-14x + 22y = 60

\frac{14x + 21y = 112}{0 + 43y = 172}

y =

\frac{172}{43}

y = 4

Como ya contamos con el valor de “y” podremos obtener el valor de “x”
2x + 3(4) = 16
2x + 12 = 16
2x = 16 - 12
x =

\frac{4}{2}

x = 2

Al obtener ambos valores los confirmaremos al resolver ambas ecuaciones:
-7(2) + 11(4) = 30
2(2) + 3(4) = 16

-14 + 44 = 30
4 + 12 = 16

Ejercicios

MÉTODO DE IGUALACIÓN

Como su nombre indica buscamos igualar con una misma variable, como decir que 1m= 100cm y 1m=1000mm, por ello 100cm=1000mm.

1.- x + 4y = 12

2.- 9x - 4y = 48

Primero vamos a despejar una variable en ambas ecuaciones, en este caso es más sencillo despejar x:

Despeje Ecuación 1:
x + 4y = 12
x = 12 - 4y

Despeje Ecuación 2:
9x - 4y = 48
9x = 48 + 47
x =

\frac{48 + 4y}{9}

Ahora vamos a igualar ambas cantidades de x:
12 - 4y =

\frac{48 + 4y}{9}

9 (12 - 4y) = 48 + 4y
108 - 36y = 48 + 4y
-36y - 4y = 48 - 108
-40y = -60
y =

\frac{-60}{-40}

\frac{30}{20}

\frac{15}{10}

\frac{3}{2}

Ahora que tenemos el valor de “y” vamos a sustituirlo en la primera ecuación para sacar el valor de x
x + 4(

\frac{3}{2}

) = 12
x +

\frac{12}{2}

= 12
x + 6 = 12
x = 12 - 6
x = 6

Ahora vamos a comprobar si los resultados son correctos, sustituiremos valores y comenzaremos a resolver:
(6) + 4(

\frac{3}{2}

) = 12
9(6) - 4(

\frac{3}{2}

) = 48

6 +

\frac{12}{2}

= 12
54 -

\frac{12}{2}

= 48

6 + 6 = 12
54 - 6 = 48

Con el fin de facilitar la comprensión de este método vamos a realizar otro ejemplo:

12x - 10y= 50
22x + y= 111

Comenzamos a despejar una literal, elegiremos la “y” (puedes elegir la que gustes al momento de realizar estos métodos).
12x - 10y= 50
-10y = 50 -12x
y =

\frac{50 - 12x}{-10}

Ahora lo haremos en la segunda ecuación.
22x + y= 111
y = 111 - 22x

Ya que tenemos ambas cantidades, las igualaremos y obtendremos el valor de “x”.

\frac{50 - 12x}{-10}

= 111 - 22x
50 - 12x= (111 - 22x) -10
50 - 12x = -1110 + 220x
50 + 1110 = 220x + 12x
1160 = 232x

\frac{1160}{232}

= x
5 = x

Pasamos a sustituir la “x” en alguna ecuación y obtendremos el valor de “y”.
12x - 10y= 50
12 (5) - 10y = 50
60 - 10y = 50
-10y = 50 - 60
y =

\frac{-10}{-10}

y = 1

Para comprobar que está correcto se realizaran ambas ecuaciones con los valores de “y” y “x”.
12(5) - 10(1)= 50
22(5) + (1)= 111

60 - 10= 50
110 + 1= 111

Ya que comprobamos que el resultado es correcto realizaremos el último ejemplo de este método.

x + 9y = -8
3x - 7y= -24

Siguiendo el procedimiento anterior, elegiremos una literal para despejar, la cual será la “x”.
x + 9y = -8
x = -8 - 9y

3x - 7y= -24
3x = -24 + 7y
x =

\frac{-24 + 7y}{3}

A continuación igualamos ambos resultados.
-8 - 9y =

\frac{-24 + 7y}{3}

(-8 - 9y) 3 = -24 + 7y
-24 - 27y = -24 + 7y
-24 + 24 = 7y + 27y
0 = 34y

\frac{0}{34}

= y (Como el cero no se puede dividir el valor será 0)
0 = y

Ahora que contamos con el valor de “y” vamos a sustituirlo en alguna ecuación.
3x - 7(0)= -24
3x - 0 = -24
x =

\frac{-24}{3}

x = -8

De manera que ya podremos comprobar si los resultados son correctos al sustituirlos en ambas ecuaciones.
x + 9y = -8
3x - 7y= -24

-8 + 9(0) = -8
3(-8) - 7(0)= -24

-8 + 0 = -8
-24 - 0 = -24

Los resultados son correctos.

Ejercicios

¿Listo para la prueba final? ¡Recuerda tomar tu tiempo para contestar cada enunciado! Esta vez serán tomados en cuenta para comparar tu progreso.

Conceptos clave

INECUACIONES

Inecuaciones con dos incógnitas

Ejercicios

Resuelve los siguientes ejercicios de inecuaciones

MÉTODO DE SUSTITUCIÓN

Ejercicios

Resuelva las siguientes ecuaciones de 2x2 por el método de sustitución

Método de sustitución

MÉTODO DE REDUCCIÓN

Ejercicios

Resuelva las siguientes ecuaciones de 2x2 por el método de reducción

Método de reducción

MÉTODO DE IGUALACIÓN

Ejercicios

Resuelva las siguientes ecuaciones de 2x2 por el método de igualación

Método de igualación