Índice
Conceptos clave
Historia de los números
reales
Números racionales

Conceptos clave

Número. Expresión de una cantidad con relación a su unidad.

Número positivo. Números mayores que 0.

Número negativo. Números menores que 0.

Historia de los números reales

Los números reales, al igual que todo lo que conocemos, tienen una historia. Comprenden diversos conjuntos o tipos de números que no surgieron al mismo tiempo, sino que su aparición fue paulatina a través del tiempo.

Los primeros números conocidos por el hombre, fueron los naturales, que en pocas palabras son aquellos que empleamos en la vida cotidiana para contar objetos. El símbolo para denotarlos es ℕ. De esta manera, se tiene que:
ℕ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6...}.

Después se ubican a los números enteros, los cuales incluyen a los naturales como a sus inversos aditivos, es decir, cantidades positivas y negativas. Este conjunto se representa por la letra ℤ :
ℤ = {-6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6...}.

Posteriormente se encuentran los números racionales, quienes se expresan como el cociente (división) entre dos números enteros. Su representación es a través de la letra ℚ:
ℚ = {

<:mfrac> - 1/ 3, \frac{2}{7}, \frac{- 1}{3}, \frac{- 1}{3} \dots

}

Estos números se conocieron desde la época de los fenicios y egipcios. Debido a que el planteamiento de que "todo segmento de línea recta se puede medir con números racionales" fue equivocado, surge la necesidad de un nuevo conjunto de números.

Los números irracioanales son los siguientes en ser planteados, aparecieron frente a la necesidad de expresar medidas de segmentos de la recta que no se pueden explicar como la divisón de dos números enteros. Más adelante se verá con detalle las características de cada uno de estos conjuntos. Se representan con la letra 𝕀.

De esta manera, es que se establecen los números reales, los cuales se estrcuturan de distintas maneras según convenga, lo que sí es seguro es que comprenden a los números naturales, enteros, racionales e irracionales.

Desde que se trabajó por primera vez con los números naturales hasta que se consolidó el concepto de número real, tuvieron que pasar miles de años. Su conceptualización final se dio en 1871 con los trabajos del matemático alemán Georg Cantor.

Así, se puede estructurar el siguiente diagrama que explica cómo se organizan los números reales:

Ahora, se analizará a detalle cada uno de los conjuntos de números que se muestran en el diagrama anterior.

1Números racionales

Son aquellos números que pueden ser expresados como la relación entre dos enteros, es decir, el cociente de estos. Su representación es por medio de una fracción a/b donde a y b son números enteros y, además, b no puede ser igual a 0.
Comprende a los números enteros y fraccionarios.

Cada número dentro de esta clasificación es equivalente a una gran variedad de fracciones, se puede decir que infinitas maneras. Por ejemplo, el número 3:

\frac{9}{3}, \frac{12}{4}, \frac{15}{5}, \frac{18}{6}, \frac{30}{10}, \frac{600}{200} \dots

Otro ejemplo puede ser 0.25

\frac{1}{4}, \frac{2}{8}, \frac{3}{12}, \frac{4}{16}, \frac{5}{20}, \frac{6}{24} \dots

Esto quiere decir que, tanto los números enteros como decimales son capaces de expresarse como el cociente entre dos números enteros.

Matemáticamente, este conjunto se representa con el símbolo ℚ

Se utilizan para medir ciertas propiedades de los objetos, tales como el largo de una casa, el volumen de un recipiente, el peso de un individuo, etc.

Dentro de este conjunto, se desglosan los números enteros y los números fraccionarios o decimales, mismos que se explican a continuación.

1.1Números enteros

Este conjunto abarca todos los números naturales, con sus inversos negativos y el cero.
Se representa con el símbolo que proviene del vocablo de origen alemán zahl, lo cual significa "número" o "cantidad".
Su representación en la recta numérica es la siguiente:

Los enteros positivos crecen hacia la derecha y los negativos lo hacen hacia la izquierda; esto quiere decir que en el caso de los negativos, mientras más cerca esté del cero, más grande es.

Por ejemplo, -95 es mayor que -112.

Todos los números enteros pueden ser positivos, negativos o el cero, no obstante, hay un caso particular con los números naturales puesto que todos los números enteros no son números naturales.

1.1.1Positivos. Cantidades mayores a 0.

Naturales: Los números naturales son aquellos que empiezan desde el 1 hasta el infinito, por lo que el 0 no es considerado un número natural pero sí un número entero. Lo mismo sucede con los números negativos pues no son naturales ya que como ya se mencionó, los números naturales son todos aquellos mayores a 0.

1.1.2Negativos. Son aquellos menores a 0.

1.1.3Cero. Valor nulo.

Los números enteros, sin importar su signo, cuentan con un valor absoluto, el cual se entiende como la distancia que hay entre la ubicación del número en la recta y el cero.
Por ejemplo:
Valor absoluto de 12 y -12 = |12|
Valor absoluto de 1 y -1 = |1|
Valor absoluto de 355 y -355 = |355|

1.2Números fraccionarios

También conocidos como fracciones comunes, se forman por la división entre dos números naturales siempre y cuando el divisor o denominador sea diferente a cero.

Los elementos de la fracción son los siguientes

\frac{A}{B}

A es el numerador, el cual indica cuántas partes se toman del entero.
B es el denominador, es decir, en cuántas partes se divide la unidad.

Estos números se pueden expresar de las siguientes maneras:

1.2.1 Fracciones

Comprende a las fracciones propias e impropias.

Fracciones propias: El numerador es menor que el denominador.

\frac{2}{5}

Fracciones impropias: El numerador es mayor que el denominador.

\frac{7}{2}

Si el numerador es múltiplo del denominador, entonces, la fracción representa un número natural entero.

\frac{6}{2} = 3

1.2.2Decimales finitos

Son los que tienen una cantidad exacta de cifras decimales.
Por ejemplo:
0.25
0.1
0.5

1.2.3Decimales infinitos periódicos

En este caso su parte decimal no tiene fin, sin embargo, esta repite de forma periódica.
Por ejemplo:
0.333333…
0.666666…
0.43434343…..
0.111111111…

Para evitar escribir tantas cantidades, matemáticamente escriben de la siguiente forma:

0 . \bar{3}

0 . \hat{6}

0 . \bar{1}

0 . \hat{43}

2Números irracionales

Son aquellos que no se pueden representar mediante el cociente de dos números enteros. Se clasifican con el símbolo 𝕀.

2.1Números infinitos no periódicos

Su expresión decimal tiene un número infinito de decimales que no forman períodos, sin embargo, se puede prescindir de esa clasificación pues esta es una característica general de los números irracionales.
Posterior al punto decimal, los números se repiten sin ninguna clase de patrón y no terminan.

Para poder saber si un números es o no irracional, se tiene que comprobar si no se puede expresar como fracción, si esto es posible, entonces corresponde a un número racional.

Ejemplos de números irracionales son:

Número de euler
Su valor es de 2.718281828459045235...

Pi
Su valor es de 3.141592653589793238...

√5

Raíz cuadrada de 5
Su valor es de 2.2360679775...

Áureo
Su valor es de 1.6180339887...

Ejercicios

A continuación, se presentan ejercicios de suma, resta, multiplicación y división con el conjunto de números descritos anteriormente.

1. Números racionales - Enteros y naturales

2. Números racionales - Fraccionarios decimales

3. Números racionales - Fraccionarios representados por fracciones

- \frac{2}{3} - \frac{5}{3} - \frac{1}{3}

\frac{8}{8} + \frac{10}{8} + \frac{2}{8}

\frac{15}{2} + \frac{41}{2} - \frac{2}{2} + \frac{9}{2} - \frac{14}{2}

(\frac{8}{9}) (\frac{19}{9})

(- \frac{17}{15}) (- \frac{22}{15})

(- \frac{1}{7}) (\frac{9}{7})

(- \frac{5}{5}) \div (- \frac{5}{5})

(\frac{11}{30}) \div (- \frac{29}{30})

\frac{5}{6} + \frac{7}{9}

\frac{5}{6} - \frac{7}{9}

- \frac{5}{6} + \frac{7}{9}

- \frac{5}{6} - \frac{7}{9}

\frac{5}{6} \div \frac{7}{9}

- \frac{5}{6} \div \frac{7}{9}

- \frac{5}{6} \div (- \frac{7}{9})

\frac{3}{10} + \frac{7}{10} + \frac{11}{10} + \frac{6}{10}

- \frac{3}{10} - \frac{7}{10} - \frac{11}{10} - \frac{6}{10}

\frac{12}{12} + \frac{3}{4} + \frac{5}{11} + \frac{6}{4}

\frac{5}{2} \times \frac{12}{5} - \frac{1}{6} - \frac{3}{2} \div \frac{10}{9}

4. Números irracionales

5. Mayor, menor o igual

125 100
0.5 0.75
1000 -1000
1 0
85.5 85.49
0.25 1/4
1/3 0.3333
75 (7.5 * 10)
-6 -7
-1000 -89
-4*-3 12
√25 2.5*2
-0.1 0
√99 √76
√19 9/2
√609 24.6779253585
π 3.657
e * 2 ln(300)

6. Arrastra y suelta las etiquetas en el lugar correcto:

Ordenar de mayor a menor

√21

√12

8/3

9/5

-7

√80

√18

11/3

-9/2

-12

√50

√15

7/3

5/6

-8

√88

13/2

√24

-11/4

-16

√55

√30

11/5

3/2

$\frac{8}{3}$ , √12, -7, √21, $\frac{9}{5}$

√80, $\frac{-9}{2}$ , $\frac{11}{3}$ , √18, -12

$\frac{7}{3}$ , √50, -8, √15, $\frac{5}{6}$

√88, $\frac{-11}{4}$ , $\frac{13}{2}$ , √24, -16

$\frac{3}{2}$ , √55, -7, √30, $\frac{11}{5}$

Resumen de la progresión

¿Listo para la prueba final? ¡Recuerda tomar tu tiempo para contestar cada enunciado! Esta vez serán tomados en cuenta para comparar tu progreso.