Conceptos clave

Magnitud. Todo lo que se puede medir numéricamente. Por ejemplo, la estatura y el peso.
Razón. Es el cociente entre dos números que son comparados, este se expresa en fracción.
Proporción. Es la igualdad entre dos razones.
Magnitudes directamente proporcionales. Al aumentar o disminuir una cantidad, otra aumenta o disminuye en la misma medida.
Magnitudes inversamente proporcionales. Mientras una cantidad aumenta o disminuye, la otra se incrementa o disminuye, respectivamente.
Tanto por ciento. Es una expresión que toma como referencia un valor y se representa como una fracción de denominador 100; se emplea el símbolo "%".

Introducción

Es muy importante no confundir una fracción con una razón, porque aunque visualmente parecen ser iguales, guardan una diferencia: En la razón podemos tener números decimales, mientras que en la fracción numerador y denominador son siempre enteros. Es así que una fracción puede ser una razón, mas una razón no siempre será una fracción por la cuestión de los decimales.

Ejemplos

1. Ana se dedica a vender pastel de zanahoria 18 días al mes y 6 a vender pay de manzana ¿Cuál es la razón entre los días que vende pastel y los que vende pay?
R= 18/6 o 18:6

2. Por cada 2 manzanas que Ana utiliza para sus pays emplea 0.8 tazas de azúcar ¿Cuál es la razón entre las manzanas y las tazas de azúcar?
R= 2/0.8 o 2:0.8

3. En el examen de admisión del CBTis se presentaron 180 preguntas en total. Alan respondió correctamente 153, Luisa contestó exitosamente 100 cuestiones y Karina sólo acertó 84 interrogantes correctamente. Ante esto ¿Cuál es la razón de cada uno de los jóvenes?
R= Alan 153/180 o 153:180; Luisa 100/180 o 100:180; Karina 84/180 o 84:180

4. Cada que Ramón no pide permiso a sus papás para salir, queda castigado 3 días ¿Cuál es la razón entre el castigo y los días?
R= 1/3 o 1:3

$\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}}\mathrm{=}\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{d}}$

Esta proporción se lee como "a es a b como c es a d".

De este lado se explican los elementos de la proporción.

Teorema Fundamental de las Proporciones (TFP)

Cuando queramos calcular la constante de proporcionalidad k, basta con efectuar la división indicada, si en ambos miembros de la igualdad de obtiene el mismo resultado quiere decir que son proporcionales, de lo contrario, no lo son.

La literal "k" en este contexto, representa a la constante de proporcionalidad, la cual es el resultado de las divisiones de las razones. Si una proporción es verdadera, entonces la constante de proporcionalidad debe de ser igual en todas las razones.

Ejercicios

a)$\frac{9.5}{10}$ :

b)$\frac{90}{100}$ :

c)$\frac{0.547}{8.5}$ :

d)$\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{5n}}$ :

e)$\frac{3}{\mathrm{4b²}}$ :

f)$\frac{67}{230}$ :

g)$\frac{0.16}{7.98}$ :

h)$\frac{7}{10}$ :

i)$\frac{\mathrm{x³}}{9}$ :

j)$\frac{\mathrm{y}}{\mathrm{x}}$ :

k)$\frac{16.4}{99.01}$ :

l)$\frac{10.78}{\mathrm{u}}$ :

m)$\frac{4.5}{9}$ :

n)$\frac{1}{2}$ :

ñ)$\frac{0.5}{100}$ :

o)$\frac{12}{15}$ :

p)$\frac{100.2}{34.5}$ :

q)$\frac{\mathrm{n²³}}{\mathrm{r}}$ :

a) 451:500 /
b) 1.87:2 /
c) 1.2:3.4 /
d) x:y /
e) m²:56 /
f) 2y⁴:10y /
g) 10:30 /
h) 1.9:5 /
i) 685.5:438.11 /
j) 77:55 /
k) 540:10 /
l) y³:3m /
m) 78:14 /
n) 99.2:100 /
ñ) 8.4:17.1 /

Calcula la constante de proporcionalidad para saber si son proporcionales o no.

$\frac{8}{16}\mathrm{=}\frac{150}{300}\mathrm{k=}$

$\frac{12.5}{13}\mathrm{=}\frac{50}{52}\mathrm{k=}$

$\frac{16.9}{84.5}\mathrm{=}\frac{33.8}{169}\mathrm{=}\frac{50.7}{253.5}\mathrm{=}\frac{67.6}{338}\mathrm{k=}$

$\frac{25}{100}\mathrm{=}\frac{50}{200}\mathrm{=}\frac{75}{300}\mathrm{=}\frac{100}{400}\mathrm{k=}$

$\frac{24}{18}\mathrm{=}\frac{8}{6}\mathrm{k=}$

$\frac{153}{17}\mathrm{=}\frac{19.125}{2.125}\mathrm{=}\frac{2.3906}{0.2656}\mathrm{k=}$

$\frac{0.68}{6.12}\mathrm{=}\frac{0.018}{0.1633}\mathrm{k=}$

$\frac{0.6}{0.31}\mathrm{=}\frac{0.3}{0.155}\mathrm{k=}$

$\frac{2.3}{6}\mathrm{=}\frac{4.6}{12}\mathrm{=}\frac{6.9}{18}\mathrm{k=}$

Cuarta proporcionalidad

Este concepto se refiere a la relación entre cuatro términos, donde el cuarto tiene la misma relación con los tres anteriores. Para conocer su valor se emplea una fórmula en específico, la cual veremos más adelante.

Si se tienen 3 números que guardan la misma proporción, entonces es posible encontrar un cuarto término con dicha proporción.

Véase la siguiente imagen:

La cuarta proporcional es establecida de la siguiente manera:
• La proporción es a / b = c / b.
• La igualdad de productos es a(d) = b(c).
• Nota: Recuérdese que la igualdad de productos se determina al multiplicar extremos con extremos y medios con medios.

El ejemplo que sirvió para explicar lo anterior corresponde al caso 2, puesto que la literal "d" era el cuarto término.

Es importante visualizar que el cuarto término puede ser cualquiera de las 4 literales de la proporción, la manera de conocer el valor del cuarto es la misma; a continuación esto se explica con detalle.

¿Cómo despejo la incógnita?

Para obtener el valor de la incógnita, se utiliza una de las propiedades de las razones, la cual dice que los productos de los medios por los medios y los extremos por los extremos, en caso de ser proporcionales, dará lo mismo; posteriormente se realiza un sencillo despeje algebraico, o si se quiere ver de una manera más simple, se trata de una "regla de tres" o multiplicación cruzada donde posteriormente se divide por el término restante.

Ejemplos

1. Se tiene que 4/12 es igual a x/45.
Por lo tanto, x = 15.
Porque (4(45))/12 da como resultado 15

2. En una proporción tenemos que: 3/x = 0.8/0.4
Si se despeje x se tiene que x = (3(0.4))/0.8

3. Los criterios de evaluación para la materia de matemáticas son los siguientes: 30% los trabajos en clase, 40% examen y 30% las participaciones. Si Yaneth sacó 7.9 en su examen ¿Qué porcentaje obtendrá de ello?
La proporcionalidad es: 10/30 = 7.9/x.
Se realiza el despeje siguiente x = (30(7.9))/10
x = 23.7%

4. Si por cada 4 chocolates se gastan $30 pesos, ¿Cuánto se gastarán por 130 chocolates?
La proporción existente es: 4/30 = 130/x
Se hace un despeje donde: x = (130(30))/4; así:
x = $975.

Ejercicios

34=7x

183.5=13.9x

101203=997x

0.683=x6

7.2951=x67.7

x395.6=500.3872.35

x130=751000

150x=700900

0.78x=0.970.33

Resuelve los siguientes problemas

1. El sueldo de un vendedor se compone de la siguiente manera: por cada $1500 en venta, obtiene una ganancia de $800 y por cada hora que labore le dan otros $200. Bryan en la semana logró vender un total de $6350 y trabajó 35 horas ¿Cuánto ganó esta semana?

R=

2. Alicia desea pintar su casa de color lila. En la tienda de pintura le dijeron que por cada bote de 15 litros podía cubrir 135 m² aproximadamente. Si en total su casa tiene 978 m² ¿Cuántos botes necesita para poder pintar su casa?

R=

3. En una tienda de mayoreo por la compra de 7 bolsas de palomitas se regalan 2 botellas de salsa de 250 ml. Maria se dedica a vender dulces en la coperativa de la escuela, si ha comprado 31 bolsas entonces ¿Cuántas botellas de salsa le han regalado por la compra de hoy?

R=

4. Kenia compró 7 paquetes de hojas blancas por las cuales ha pagado $980. Su hermana adquirió 12 paquetes ¿Cuánto pagó en total la hermana de Kenia?

R=

5. Para poder pasar la materia de biología se han dado los siguientes criterios: 1 punto por 40 asistencias, 3 puntos por las 8 tareas calificadas del 1 al 10 cada una, 5 puntos por el examen calificado del 1 al 10 y 1 punto por 5 participaciones. Alan tuvo 30 asistencias, sólo hizo 5 tareas con las siguientes calificaciones: 7.8, 9, 10, 8 y 9.5; en el examen obtuvo un 8.3 y sólo tuvo 2 participaciones ¿Cuál fue la calificación de Alan?

R=

6. Elena decidió realizar algunas lavandas de papel para decorar su habitación. Por cada 3 hojas obtiene 7 lavandas. Si desea hacer 30 lavandas ¿Cuántas hojas necesita para obtener las lavandas que quiere?

R=

7. En la tienda de autoservicio por cada $120 en compras de productos se van acumulando 15 puntos en la tarjeta de cliente frecuente. Tomás ha acumulado $2040 en compras a lo largo de los meses ¿Cuántos puntos hay su tarjeta actualmente?

R=

Media proporcional

Una proporción es continua si los medios son iguales. Véase la siguiente imagen:

Para resolver el medio proporcional nos basamos en el principio de la multiplicación de los extremos y medios o cruzada, teniendo que:

Tras tener "x²" se pasa la potencia a la inversa, es decir, pasa a raíz cuadrada de la multiplicación que se tiene en el primer miembro de la igualdad.

Ejemplos

Ahora se verán algunos ejemplos sobre el medio proporcional antes de resolver algunos ejercicios.

Ejercicios

Para cerrar el medio proporcional, resuélvanse los siguientes ejercicios:

$\frac{85}{\mathrm{x}}\mathrm{=}\frac{\mathrm{x}}{420}$
x=

$\frac{10}{\mathrm{x}}\mathrm{=}\frac{\mathrm{x}}{30}$
x=

$\frac{1.3}{\mathrm{x}}\mathrm{=}\frac{\mathrm{x}}{9.7}$
x=

$\frac{75.4}{\mathrm{x}}\mathrm{=}\frac{\mathrm{x}}{12.27}$
x=

$\frac{0.5}{\mathrm{x}}\mathrm{=}\frac{\mathrm{x}}{50}$
x=

$\frac{587}{\mathrm{x}}\mathrm{=}\frac{\mathrm{x}}{987}$
x=

$\frac{15.6}{\mathrm{x}}\mathrm{=}\frac{\mathrm{x}}{78.2}$
x=

$\frac{12}{\mathrm{x}}\mathrm{=}\frac{\mathrm{x}}{7.5}$
x=

$\frac{4}{\mathrm{x}}\mathrm{=}\frac{\mathrm{x}}{10}$x=

$\frac{785}{\mathrm{x}}\mathrm{=}\frac{\mathrm{x}}{1004}$
x=

$\frac{5}{\mathrm{x}}\mathrm{=}\frac{\mathrm{x}}{20}$
x=

$\frac{17}{\mathrm{x}}\mathrm{=}\frac{\mathrm{x}}{68}$
x=

$\frac{91}{\mathrm{x}}\mathrm{=}\frac{\mathrm{x}}{34.1}$
x=

$\frac{1.3}{\mathrm{x}}\mathrm{=}\frac{\mathrm{x}}{9.7}$
x=

$\frac{202}{\mathrm{x}}\mathrm{=}\frac{\mathrm{x}}{510}$
x=

Proporción directa

Dos magnitudes son proporcionalmente directas si al duplicar una la otra también se duplica, si al triplicar una la segunda también se triplica. Es decir, si aumentamos la cantidad de una, la otra también tiene que aumentar en proporción. O bien, si una disminuye la otra también disminuye.
Veamos un ejemplo con la siguiente figura:

Nótese que por cada perro se necesitan de dos huesos para alimentar al mismo, entonces, si se tuvieran dos perros, en total se necesitarían 4 huesos y así sucesivamente. Mientras la cantidad de perros aumente, tambíen lo harán los huesos.

Para resolver problemas donde se aplique la proporción directa hay que tener presente la regla de tres, la cual ya fue analizada anterioridad como parte de la proporción. Asimismo, nos servimos de las tablas de variación, las cuales hacen más visuales los cálculos que se realizan en este tipo de problemas.

Ejemplos

Ejercicios

Resuelve los siguientes problemas.

1. Hoy el dólar está a $17.65 así que Jaime y su familia fueron a un banco a cambiar algunos dólares que tenían. Jaime llevó 36, Rosa tenía 25, su mamá 78 y su papá 92. Completa la siguiente tabla de variaciones:

Dólares	Pesos mxn
1	17.65
36
25
78
92

2. En el supermercado 3 jabones en barra están a 43 pesos. Gael lleva 400 pesos y planea comprar jabones para todo el año ¿Para cuántos jabones le alcanza?
R=

3. Con 3 litros de gasolina se pueden recorrer 48 km, por dos litros de gasolina se cobran 47.3. Jonny emprenderá un viaje por carretera y lleva como presupuesto $780 para gastar en gasolina ¿Cuántos litros podrá comprar? ¿Cuántos kilómetros podrá recorrer?
Litros=
Kilómetros=

4. Por cada 4 horas de desvelo se necesitan 17 días para recuperarse. En base a esto:
¿Cuántos días necesita Karla si ayer se desveló 2 horas?
¿Cuántas horas se ha desvelado una persona si requiere de 32 días para recuperar esas horas?
¿A cuántas horas de desvelo equivalen 107 días de recuperación?
¿Cuántos días necesita dormir Hilda si no ha dormido 2 días a lo largo de una semana?


5. Una maestra tarda 4 horas y 20 minutos haciendo 5 figuras de goma eva ¿Cuánto tardará si hace 16 figuras? Expresa el resultado en horas.
R=

6. 2 problemas de probabildad le toman a 3 personas 24 minutos para resolverlos. Si tienen que resolver 11 problemas ¿Cuánto tiempo tardarán?
R=

7. Han pasado 118 minutos y mi telefóno tiene 59%, considerando que la carga es constante:
¿A los cuántos minutos tenía 15%?
¿A los cuántos minutos tenía 23%?
¿Cuánta carga tendrá cuando hayan pasado 200 minutos?
¿Cuánta batería tendrá cuando hayan pasado 146 minutos?
¿A los cuántos minutos estará totalmente cargado?

Proporcionalidad inversa

A diferencia de la proporcionalidad directa, en la proporcionalidad indirecta si una magnitud aumenta, la otra disminuye proporcionalmente.

Entonces: dos magnitudes son inversamente proporcionales si al multiplicar o dividir una de ellas la otra queda dividida o multiplicada por el mismo número; es aquí donde observamos por qué es una proporción inversa.

Para entenderlo mejor veamos un ejemplo:

Ejemplos

Ahora se verán algunos ejemplos a fin de que quede más claro el tema de proporción inversa.

Ejercicios

1. En un parque de atracciones hay un laberinto de muchos metros cuadrados, para mantner bien dicha atracción contratatan a 4 jardineros, los cuales hacen su trabajo en 6 horas. Entonces, la empresa decide hacer algunas pruebas para ver qué cantidad de trabajadores le conviene contratatr, esa cantidad se determinará cuando un grupo logre mantener la atracción en menos de una hora.

4	6
5
6
7
	1

2. Para la celebración de fin de año se ha comisionado a un grupo de 5 mujeres para que tejan una manta gigante con la figura de Jesucristo, si ese trabajo les tomará 341 horas, ¿Cuánto les tomaría si fuesen 8 mujeres? y ¿si fueran 3? Sólo les quedan 176 horas ¿Cuántas mujeres necesitan entrar al proyecto para terminarlo?
NOTA: Redondee los días al número más cercano, teniendo en cuenta los decimales.
8 = 3= Necesitan=

3. En una granja tienen 100 vacas a los cuales alimentan semanalmente con 460 kilos de heno, cantidad que se divide de manera igualitaria, empero, de esas vacas, 20 tuvieron crías, es decir, ahora son 120 vacas por lo que los 460 kilos se dividen entre 120. ¿Cuánto heno le va a tocar ahora a cada vaca?
R=

4. Graciela acaba de regresar de un viaje de 9 meses y tiene muchos regalos para sus nietos, primero comenzará a repartir los colores y bolígrafos. Traía en total 378 colores para dividir entre los 4 nietos, pero al final la nieta mayor dijo no necesitar lápices de colores así que el reparto sólo se hará entre los 3 menores ¿De cuántos colores le toca a cada uno? Nota: Redondee las cantidades hacia abajo.
R=

5. Rocko está excavando un agujero en el parque mientras su cuidador está platicando con un amigo, así que trata de excavar lo más rápido que puede, aunque lograr la profundidad que quiere le tomará al menos 20 minutos, tiempo que no tiene. Posteriormente otro perro se une, luego dos más y finalmente son 8 perros excavando ¿Cuánto tiempo tomará hacer el agujero siendo un grupo de 8?
R=

6. Quique ha colocado una fonda en su casa donde le ha estado yendo muy bien, eso quiere decir que las 3 señoras que hacen las tortillas no son suficientes para atender tanta gente, con 3 señoras el cliente tiene que esperar 5 minutos por una tortilla ¿Cuánto tendría que esperar si fuesen 7 señoras? R=

7. Una familia ha salido de excursión con víveres para 28 días y para 6 personas, es decir, los miembros de su familia ¿Para cuántos días durarían los víveres si fuesen sólo el padre y la madre de excursión?
R=

Porcentajes

En matemáticas y estadística, el porcentaje es la expresión de una determinada cantidad como una fracción de 100 partes iguales. Es la relación de proporcionalidad entre dos unidades o una unidad y un conjunto de ellas, esto está expresado en términos de 100 unidades, es decir, un tanto por ciento.

El porcentaje viene acompañado del signo % y de la cifra del porcentaje. Algunos ejemplos: 34%, 10%, 50%, 90%, 67%, etc.

La importancia de los porcentajes radica en que con estos podemos comparar fracciones y expresar proporciones. Se usan en la estadística, la contabilidad, la ecología, entre muchas otras.

Ejemplos

A continuación se verán algunos ejemplos de equivalencia entre razones y porcentajes:
1/2 equivale a 50/100, es decir, a 50%.
1/3 equivale a 33.3/100, es decir, a 33.3%.
3/8 equivale a 37.5/100, es decir, a 37.5%.
1/10 equivale a 10/100, es decir, a 10%.
1/100 equivale a 0.1/100, es decir, a 1%.
9/10 equivale a 90/100, es decir, a 90%.

Los porcentajes se pueden expresar en cifras enteras o fraccionarias, asimismo, se pueden realizar algunas operaciones aritméticas con ellos, sin embargo, hay que tener en cuenta que un porcentaje no expresa una cifra exacta sino más bien una proporción.

Si se busca obtener el porcentaje, el procedimiento es el mismo, ya que la incógnita se encontrará en otra posición, empero, la multiplicación cruzada y división horizontal se mantienen

Ejemplos

Finalmente se verán ejercicios de su aplicación antes de cerrar con las actividades.
1. En una tienda está una blusa que cuesta $340 con una oferta de 25% ¿A cuánto está realmente la blusa?
(345)(25)/100 = 85 340-85 = $255

2. Oscar colecciona figuras de acción, de las 267 que tiene sólo el 62% han sido compras totalmente nuevas, las otras han sido adquiridas de segunda mano ¿Cuántas figuras de segunda mano tiene?
(267)(62)/100=165 267-165= 102

3. Un futbolista a lo largo de su carrera ha lanzado 280 penaltis, si se sabe que ha fallado el 7% ¿Cuántos ha logrado meter?
(280)(7)/100=20 280-20 = 260

4. Elena fue al cine, cuando compró su combo de palomitas eligió el de $90, sin embargo, al momento de pagar le cobraron sólo $67 ¿Qué porcentaje le descontaron? (100)(67)/90 = 74.4 100 - 74.4 = 25.5%

5. Tomás se percató de que tenía descuento en la inscripción de su colegiatura, de pagar $1800 ahora sólo pagaría $865 ¿Qué porcentaje le descontaron?
(100)(865)/1800=48.05 100-48.05 = 51.94%

Ejercicios

Realiza las siguientes actividades. Si algunas cantidades tienen más de un número después del punto, considere 2 decimales.

1. El 15% de 90 =
2. El 89% de 3450 =
3. El 50% de 10780 =
4. El 4% de 70 =
5. El 68% de 1500 =
6. El 99% de 340 =
7. El 20% de 600 =
8. El 12% de 12 =
9. El 55% de 9000 =
10. El 1% de 780 =
11. El 84% de 6234 =
12. El 5% de 10 =
13. El 34% de 1950 =
14. El 22% de 100 =
15. El 7% de 4949 =

1. Qué tanto por ciento de 230 es 120.
2. Qué tanto por ciento de 3400 es 989.
3. Qué tanto por ciento de 10000 es 6700.
4. Qué tanto por ciento de 700 es 100.
5. Qué tanto por ciento de 8900 es 310.
6. Qué tanto por ciento de 100 es 9.
7. Qué tanto por ciento de 720 es 5.
8. Qué tanto por ciento de 1000 es 670.
9. Qué tanto por ciento de 5111 es 3910.
10. Qué tanto por ciento de 1111 es 111.
11. Qué tanto por ciento de 9200 es 8134.
12. Qué tanto por ciento de 4000 es 3999.
13. Qué tanto por ciento de 12 es 1.
14. Qué tanto por ciento de 2890 es 28.
15. Qué tanto por ciento de 300 es 10.

1. En una papelería se tiene un total de 4079 hojas de colores. 32% son azules, 13% amarillas, 23% negras, 10% rojas, 15% moradas y 7% verdes ¿Cuántas hojas hay de cada una?
NOTA: No consideres puntos decimales. Azules:
Amarillas:
Negras:
Rojas:
Moradas:
Verdes:

2. La calificación de la materia de ética está determinada por los siguientes criterios: 10% 7 participaciones. 5% 40 asistencias. 35% tareas (5 en total). 40% examen. 10% exposición. Ana tiene 3 participaciones, 35 asistencias, 4 tareas, sacó 9 en el examen y 10 en la exposición ¿Qué calificación obtuvo? En cambio, Juan tiene 7 participaciones, 40 asistencias, 3 tareas, 7 en el examen y 10 en la exposición ¿Cuál es su calificación?
Ana:
Luis:

3. En la boutique hay descuento de 30% en prendas de dama. Lisa compró un vestido de $345 ya con descuento ¿Cuánto costaba originalmente el vestido?
R=

4. Jimena colecciona pegatinas, tiene 23 de color azul, 70 de color verde, 67 de color rosa, 21 de color blanco, 80 de color púrpura, 109 de color gris, 133 de color rosa, 56 de color naranja y 99 de color amarillo ¿Qué porcentaje representa cada color de pegatinas?
Azul:
Verde:
Rosa:
Blanco:
Púrpura:
Gris:
Rosa:
Naranja:
Amarillo:

5. Si Estela lleva $250 y hay promoción de 3x2 sopas de arroz en $23 pesos ¿Para cuántos paquetes le alcanzará si además tiene un cupón de descuento de 20% en compras de más de 200 pesos?
R=

Resumen

¿Listo para la prueba final? ¡Recuerda tomar tu tiempo para contestar cada enunciado! Esta vez serán tomados en cuenta para comparar tu progreso.

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