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Progresion 10

Pro gre sión 10

Revisa el teorema del triángulo de Napoleón, considerándolo como un problema-meta en el que se aplican resultados de la geometría euclidiana como: Teorema de Pitágoras, criterios de congruencia y semejanza de triángulos, caracterizaciones de cuadriláteros concíclicos, entre otros.

Metas:

M1

Observa y obtiene información de una situación o fenómeno para establecer estrategias o formas de visualización que ayuden a entenderlo.

M4

Argumenta a favor o en contra de afirmaciones acerca de situaciones, fenómenos o problemas propios de la matemática, de las ciencias o de su contexto.

M2

Socializa con sus pares sus conjeturas, descubrimientos o procesos en la solución de un problema tanto teórico como de su entorno.

M3

Organiza los procedimientos empleados en la solución de un problema a través de argumentos formales para someterlo a debate o a evaluación.

Categorías:

C2

Procesos de intuición y razonamiento.

C4

Interacción y lenguaje matemático.

Subcategorías:

S1

Capacidad para observar y conjeturar.

S2

Pensamiento intuitivo.

S3

Pensamiento formal.

S1

Registro escrito, simbólico, algebraico e iconográfico.

S3

Ambiente matemático de comunicación.

Índice
Conceptos clave
¿De que habla del teorema de
Napoleón?
Ejemplo
Ejercicios
Resumen

Conceptos Clave

Semejanza. Misma forma y distinto tamaño.
Homotecia. Ampliación.
Teorema. Una proposición que puede ser demostrada lógicamente.

¿De qué habla el teorema de Napoleón?

Si sobre los lados de un triángulo cualquiera se construyen triángulos equiláteros entonces los centros de estos triángulos son también vértices de un triángulo equilátero.

Los triángulos pueden ser tanto internos como externos, los centros de esos triángulos siempre formarán un triángulo equilátero, y si restamos las áreas del triángulo externo con la del triángulo interno, darán como resultado el área del triángulo original.

Hay varias formas de demostrar el teorema de Napoleón, una forma sencilla y rápida es al ya tener nuestro triángulo formado por los centros de los triángulos, digamos que es nuestro triángulo MNL, el lado MN, lo giramos 30° en sentido de las agujas del reloj, y con ello hacemos una homotecia de raíz cuadrada de tres con centro en A, con homotecia con centro nos referimos a que es una ampliación, la razón indica cuánto se va a ampliar, tomamos la figura y por cada punto trazamos una línea que une el centro de la homotecia con el punto, se mide la distancia y se multiplica por la razón de la homotecia, obteniendo un punto, si hacemos eso con todos los puntos obtendremos una copia ampliada de la figura.

Bueno, al momento de girar el lado MN y hacer la homotecia, obtenemos la línea de segmento CZ, y después haremos lo mismo con el lado LN, pero esta vez lo giraremos en el sentido contrario de las agujas del reloj, y hacemos la homotecia ahora con respecto al punto B, y queda exactamente lo mismo que antes, el giro y la homotecia en cada caso son equivalentes, eso significa que tienen la misma simetría espiral y si contamos con giro y homotecias equivalentes que nos dan el mismo segmento, significa que los segmentos de partida eran iguales, por ende son del mismo tamaño, y si vemos cómo hemos obtenido los giros, tenemos que el ángulo que forman ambos lados es de 60°, por ello es un triángulo equilátero.

Hay varias variantes de este teorema por ejemplo el teorema de Petr-Douglas-Neumann, el cual plantea que sean triángulos isósceles (dos lados iguales y uno diferente) agregando que existe el de Jha Savaran que plantea el problema a partir de un hexágono.

Ejercicio

Responde las siguientes preguntas.

1.- ¿De qué trata el teorema de Napoleón?

Al dibujar triángulos equiláteros en cada uno de los lados de un triángulo cualquiera, los centros que los unen dichos triángulos formarán siempre un triángulo equilátero.

La suma de los cuadrados de los catetos de un triángulo rectángulo es igual a la hipotenusa

Toda recta paralela a un lado de un triángulo, forma con los otros dos lados o con sus prolongaciones otro triángulo que es semejante al triángulo dado.

2.- ¿Qué es una homotecia?

Una potencia.

Una onomatopeya.

Una ampliación.

3.- ¿Por cuántos grados se tiene que girar el lado del triángulo en la forma de comprobación mencionada?

30°

60°

45°

4.- ¿En qué sentido se tiene que girar?

De las manecillas del reloj.

Contrario a las manecillas del reloj.

5.- ¿Qué es un triángulo equilátero?

Ninguno de sus lados son iguales.

El que cuenta con todos sus lados y ángulos iguales.

Tiene dos lados iguales.

6.- ¿Cuál es una de las variantes de este teorema?

Teorema de Euclides

Teorema de Jha Savaran

Teorema de Pitágoras

Triángulos, congruencia y semejanza.

Dada la introducción al teorema de Napoleón, comencemos con el tema de triángulos, congruencia y semejanza.

La congruencia entre figuras se hace notal cuando los lados y ángulos coinciden.

En cambio cuando son semejantes lo único que es igual son los ángulos, sus lados solamente proporcionales

La razón de semejanza es la razón se proporcionalidad entre los lados de la figura.

Criterios de semejanza:

Fórmulas para la semejanza entre triángulos:

\frac{A'B'}{AB}

\frac{A'C'}{AE}

\frac{B'C'}{BE}

Igualdades entre segmentos de los triángulos.

Para calcular la homotecia (la ampliación en una semejanza), se realiza al dividir el valor del lado similar mayor con el lado menor similar.

Criterio AA.
Si dos de sus ángulos son iguales.

Criterio LLL.
Si sus tres lados son proporcionales.

Criterio LAL.
Si dos de sus lados son proporcionales y el ángulo comprendido entre ellos es congruente.

Criterios de congruencia:

LAL (lado, ángulo, lado)

Dos triángulos son congruentes cuando dos de sus ladows son iguales como el ángulo comprendido entre estos.

ALA (ángulo, lado, ángulo)

Dos triángulos son congruentes cuando dos ángulos interiores y el lado entre ellos tienen la misma longitud y tamaño.

LLL (lado, lado, lado)

Dos triángulos son congruentes si sus tres lados son iguales.

Semejanza

Como se mencionó la semejanza es la igualdad entre ángulos, no entre lados. Por ejemplo, para hacer una figura semejante a un triángulo, se pueden utilizar los criterios de semejanza mostrados anteriormente para obtener el valor de algún dato faltante, los ángulos siempre serán iguales.