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Progresion 1

Pro gre sión 1

Compara, considerando sus aprendizajes de trayectoría, el lenguaje natural con el lenguaje matemático para observar que este último requiere de precisión y rigurosidad.

Metas

M1

Describe situaciones o fenómenos empleando rigurosamente el lenguaje matemático y el lenguaje natural.

Categorías

C1

Interacción y lenguaje matemático.

Subcategorías

S1

Registro escrito, simbólico, algebraico e iconográfico.

Índice
Conceptos clave
¿Qué es el lenguaje
algebraico?
Función
Características
Jerarquía
Ejemplos
Ejercicios
Resumen

Conceptos clave

Lenguaje natural. Es el lenguaje hablado o escrito de los seres humanos.
Lenguaje matemático. Es aquel que está conformado por signos matemáticos, números y reglas.
Variables. Valores no fijos que cambian según alguna condición.

¿Qué es el lenguaje algebraico?

Consiste en transformar o traducir lo que nosotros conocemos como "lenguaje común" o "lenguaje normal" a símbolos y letras, a fin de representar cantidades desconocidas con símbolos, simplificar teoremas, ecuaciones e inecuaciones. En pocas palabras, darle la solución a un problema desde un enfoque matemático.

Este lenguaje está constituido principalmente por las letras del alfabeto, aunque se verá que frecuentemente se usan la "a", "b", "c", "x", "y", "m" y "n". Empero, en algunos otros casos también se emplean algunas letras del alfabeto griego, las más comúnes son: α (alpha), β (betha), θ (tetha) y Ω (omega). Usamos las letras para representar las variables, es decir, los valores desconocidos que, como su nombre lo indica, varían o cambian.

Las expresiones algebraicas son cadenas ordenadas por una jerarquía donde regularmente veremos números, letras y operadores aritméticos, sin embargo, en materias como trigonometría es usual encontrar funciones trigonométricas dentro de la cadena, lo mismo sucede con otras ramas matemáticas.
Entre este conjunto de elementos podemos distinguir los siguientes:

Incógnitas. Son los valores desconocidos. También se les denomina "variables" y estas pueden ser dependientes o independientes.
Signos artiméticos. Tales como "+", "-", "x", "/".
Superíndices o potencias. La cantidad de veces que un número es multiplicado por sí mismo.
Raíces o radicales. La división de un número entre sí mismo una determinada cantidad de veces.
Funciones. La relación de dependencia entre dos o más variables o valores.

Dentro del lenguaje algebraico ya no se emplean tanto las palabras de suma, resta, división o multiplicación, en su lugar tenemos sinónimos para referirnos a tales operaciones. Véase la siguiente tabla:

Suma	Resta	Multiplicacion	División
Aumentar	Disminuir	Producto	Cociente
Mayor que	Menor que	Múltiplo	Dividido
Incrementar	Diferencia	Veces	Proporción
Más grande que	Perder o pérdida	Doble/triple/ cuádruple/etc.	Razón
			Mitad/tercera/ cuarta/etc

Función

Seguramente te estarás preguntando ¿Para qué me sirve traducir un enunciado en lenguaje común a un lenguaje lleno de letras y números? Pues bien, la función global del lenguaje algebraico es generalizar las diversas operaciones que se desarrollan en la aritmética, pero ahora usando símbolos y letras.

De manera más detallada, mediante el álgebra podemos resolver problemas de forma ordenada y lógica, valiéndonos de las operaciones aritméticas y ahora, dentro del álgebra, de otras operaciones como los despejes y sustituciones, etc.

El álgebra simplifica los problemas, un buen estudio de esta rama nos demuestra lo sencillo que se pueden resolver situaciones de la vida cotidiana aplicando los fundamentos de la misma.

Características

Es más precioso que el lenguaje númerico.
Se expresan enunciados más breves.
Expresión de valores desconocidos.

A continuación veremos algunos ejemplos comunes de expresiones verbales y su traducción al lenguaje algebraico.

Un número cualquiera	x
La suma de dos números	x+y
La diferencia de dos números	x-y
El producto de dos números	xy
El cociente de dos números	x:y o, x/y
El cubo de un número	x³
El triple del cuadrado de un número	3x²
La suma de dos cuadrados de dos números	x² + y²

Jerarquía

Finalmente, para poder traducir expresiones en lenguaje natural a lenguaje algebraico, veamos la siguiente imagen que explica la jerarquía que debe de tenerse en cuenta en general cuando se estudia álgebra. Básicamente es el orden que se debe de seguir al efectuar las operaciones o establecer una expresión algebraica.

NOTA: Cuando hay agrupadores, la expresión que está dentro toma también la jerarquía ya explicada.

Asimismo, a lo largo del estudio del álgebra y su papel en otras ramas, podemos encontrarnos muchos símbolos que a veces pueden generar confusión, a continuación, se muestran algunos de los más comunes.

Símbolo	Significado
+	Suma
-	Resta
* ×	Multiplicación
/ ÷	División
±	Más menos
=	Igual
≠	No es igual
≈	Aproximado
≡	Equivalencia
<	Menor que
>	Mayor que
≥	Mayor o igual que
≤	Menor o igual que
≫	Mucho mayor que
≪	Mucho menos que
{ }	Llaves
[ ]	Corchetes
( )	Paréntesis
∴	Por lo tanto
∵	Porque
∞	Infinito
!	Factorial
√	Raíz
∑	Sumatoria
\|x\|	Valor absoluto

Ejemplos

Ahora veremos unos ejemplos antes de pasar con los ejercicios.

1. El triple de un numero multiplicado por 9 y a cuyo resultado se le aumentan 12 unidades.

9(3x)+12

2. La suma de 3 numeros.

x+y+z

3. La edad de Ariel es una quinta parte de la edad de Mauricio.

x = y/5

4. Tres números enteros consecutivos cuya suma es 168.

x + (x+1) + (x+2) = 168

5. Si a un número le disminuyo 13 unidades obtengo -84.

x - 13 = -84

6. Un número multiplicado por sí mismo 5 veces.

x⁵

7. Al producto de dos números se le aumentan 3 unidades, 4 veces la mitad de ese resultado se aumenta al número 20.

4[(xy + 3) / 2] + 20

Ejercicios

1. Elige la opción correcta.

Sara tiene el doble de manzanas que tiene Hansel, Luis tiene la mitad del triple de manzanas que tiene Sara ¿Cuántas manzanas tiene cada uno?
2x, x, 3x
2y, x, 6x
x, 2x, 3

Tengo un número. Lo multiplico por sí mismo 3 veces. Le aumento la mitad del número inicial. Finalmente todo lo anterior lo multiplico por el número 4 veces.
2x³+ $\frac{x}{2}$ (4x)

(3x + $\frac{x}{2}$ )4x

(x³+ $\frac{x}{2}$ )4x

A la raíz cuadrada de la suma de 3 términos se le aumenta el producto de los 3 términos, dicho producto está multiplicado por sí mismo 3 veces y se le está restando el doble del primer término. Todo lo anterior se multiplica por el producto de los últimos dos términos, cuyo producto está multiplicado por sí mismo 2 veces.
yz²{ $\sqrt[2]{x+y+z}$ + [(xyz)³]}-2x
(yz)² { $\sqrt[2]{x+y+z}$ + [(xyz)³-2x]}
yz² { $\sqrt[2]{x+y+z}$ + [(xyz)³-2x]}

Al cuadrado de un número se le disminuye el cubo del cuadrado de otro número.
x² - y² - y³
x²- (y²)³
x²-y³(2)

La suma de dos números pares consecutivos .
2X+(2X+2)
(2X+2)+(2X+4)
4X + 2

Al triple de un número se le disminuye el cociente de otro número entre 2.
3X - 2Y

3X- $\frac{x}{2}$

3X - $\frac{y}{2}$

Recordando la jerarquía de operaciones, arrastre los elementos que correspondan a su respectivo lugar.

2. Elige verdadero (V) o falso (F).

"El doble de un número es igual al 78".
En lenguaje algebraico es 2x = 78
V
F

"La suma de 5 números consecutivos a la cual se le disminuye 12".
En lenguaje algebraico es x + (x+1) + (x+2) + (x+3) + (x+4) - 12
V
F

"El producto de 160 por un número más el cociente de ese numero entre 5".
En lenguaje algebraico es 160x + x/5
V
F

"El cociente de 7 veces un número al cual se le disminuye otro número multiplicado por sí mismo 2 veces, entre el doble de 2".
En lenguaje algebraico es (7x - y^2)/4
V
F

"La raíz cuadrada de la diferencia de dos números".
En lenguaje algebraico es (x - y)^2
V
F

"El producto de dos números consecutivos".
En lenguaje algebraico es x^2 + x
V
F

Resumen

¿Listo para la prueba final? ¡Recuerda tomar tu tiempo para contestar cada enunciado! Esta vez serán tomados en cuenta para comparar tu progreso.

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