Índice
Sistema de coordenadas
rectangulares

Unir dos puntos
Distancia entre dos puntos
Perímetros y áreas

Ejemplos

Ejercicios

Resumen

Conceptos clave

Coordenadas. Cada número que señala la posición de un elemento.

Plano cartesiano. Diagrama de 2 ejes perpendiculares en el cual se pueden ubicar puntos mediante coordenadas.

Geometría analítica. Estudia figuras en el plano cartesiano.

Perímetro.El contorno de una superficie.

Área.Superficie delimitada por el perímetro.

Sistema de coordenadas rectangulares

El sistema de coordenadas rectangulares corresponde a lo que la mayoría conoce como "plano cartesiano", el cual está formado por dos rectas perpendiculares que intersecan en un punto, mismo que se denomina "origen" o "punto cero".
De estas rectas surgen 4 cuadrantes, los cuales por convención se enumeran del 1 al 4 en números romanos (I, II, III y IV).

La recta vertical corresponde al eje de las "y", también llamadas "eje de las ordenadas", por otro lado, la recta horizontal es el eje de las "x", igualmente conocido como "eje de las abscisas".

El cuadrante I es totalmente positivo (+).
El cuadrante II es negativo y positivo (-,+).
El cuadrante III es negativo en su totalidad (-).
El cuadrante IV es positivo y negativo (+,-).

En la siguiente imagen se pueden apreciar estos elementos con mayor claridad:

Si se desea ubicar un punto en el plano cartesiano, es necesario conocer dos valores: el valor de "x" y el valor de "y". A este conjunto de valores se les denomina "par ordenado de valores", se representa colocando los valores dentro de un paréntesis, siempre primero el valor sobre el eje x, separado por una coma del valor sobre el eje y, es decir:
(x, y).
Además, es recomendable que al punto que se vaya a ubicar se le dé un nombre, generalmente se utilizan las letras del abecedario en mayúscula.

Ejemplos

A(7,8)
B(-3,0)
C(-6,-9)
D(1,-7.5)
E(0.7, 6)
F(10, 34)
G(-5, -14)
H(9.9, -6.7)
I(-n, m)

También es importante saber identificar a qué cuadrante pertenece un punto, para ello no es necesario que sean ubicados, por los signos podemos darnos una idea. Véanse los puntos W, X, Y y Z:

W(1.4, 10)
X (-6, -8)
Y(-1, 1)
Z(7, -0.5)

Cosas a considerar:

Si un punto es (0, 0) se dice que este se encuentra en el punto de origen, no en algún cuadrante en específico.
Cuando uno de los valores, abscisas u ordenas es 0, el punto no se encuentra en un cuadrante en específico, sino que se halla en alguno de los ejes con su respectivo valor. Por ejemplo, el punto (0,9) se encuentra en el eje positivo de las ordenas, pues el valor de x=0 y el valor de y=9, la siguiente ilustración puede ayudar a comprenderlo mejor:

Punto A. Se encuentra en el punto de origen
Punto B. Se encuentra en el eje positivo de las ordenadas
Punto C. Se encuentra en el eje negativo de las y
Punto D. Se encuentra en el eje positivo de las abscisas
Punto E. Se encuentra en el eje negativo de las x

Ejercicios

1. Determina en qué cuadrante o eje están ubicados los siguientes puntos.
NOTA: Las respuestas sólo pueden ser del 1-4, "x" y "y", sin comillas y en minúsculas.
A(0.8, 6)
B(-7, 10.3)
C(-12, -56)
D(0, 7)
E(8, -8.9)
F(6, 0)
G(0, 0)
H(-1, 0)
I(450, 100)
J(-7, -9)

2. Escribe las coordenadas de los puntos que se ven en la imagen

A( ,)
B( ,)
C( ,)
D( ,)
E( ,)

Unir dos puntos

Para unir 2 puntos estos deben estar ubicados en primera instancia en el plano, una vez ubicados se traza una línea recta entre ambos. Véase la siguiente imagen:

Si se tuvieran los puntos A(8,8) y B(1, 9), primero se ubicarían los puntos en el plano, después, ambos se unirían trazando una línea recta entre ambos, de tal manera que la unión queda hecha.

Distancia entre dos puntos

Como ya se vio, dentro del plano cartesiano es posible ubicar dos puntos y a su vez, determinar la distancia que hay entre ambos, para encontrar dicha distancia sólo se tienen que aplicar algunos conocimientos de álgebra y el tan conocido teorema de pitágoras.

Para analizar este proceso se pondrá como ejemplo la siguiente situación: Determinar la distancia que hay entre la isla Kaxbrim y la isla Kaxwi.

Recuerda que…

El teorema de Pitágoras dicta que "en todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma del cuadrado de sus catetos."

a^{2} + b^{2} = c^{2}

En la siguiente imagen se puede apreciar que con la unión del punto A y B es posible formar un triángulo rectángulo, de tal manera es posible aplicar el teorema de Pitágoras, pues la hipotenusa corresponde a la distancia entre las islas del ejemplo.

Sin embargo, antes hay que conocer el valor de los catetos, lo cual es relativamente sencillo haciendo uso de las siguientes fórmulas:

c_{1} = y_{2} - y_{1}

c_{2} = x_{2} - x_{1}

Para entender a quién corresponde cada literal es necesario retomar los puntos A y B, donde A(4, 9) y B(1, 4). El primer punto, en este caso siguiendo el orden alfabético es el punto A, por lo tanto:
$x_{1} = 4$
$y_{1} = 9$

El segundo punto corresponde al B, donde:
$x_{2} = 1$
$y_{2} = 4$

Sabiendo estos datos se puede sustituir en las dos pequeñas fórmulas de unos párrafos arriba:
$c_{1} = y_{2} - y_{1}$
$c_{2} = x_{2} - x_{1}$
$4 - 9 = - 5$
$1 - 4 = - 3$

El siguiente paso es elevar al cuadrado los resultados obtenidos:
${((- 5))}^{2} = 25$
${((- 3))}^{2} = 9$

De esta manera se obtiene la medida de los catetos del triángulo formado. Lo que falta por hacer es despejar la literal c, es decir, sumar la medida de los catetos y al resultado de ello sacarle raíz cuadrada:
$c = \sqrt[2]{25 + 9}$
$c = \sqrt[2]{34}$
$c = 5.83$

Así, se tiene que la distancia entre ambas islas es de 5.83 unidades.

Finalmente, se puede deducir la siguiente fórmula para calcular la distancia entre dos puntos ubicados en el plano cartesiano:
$d = \sqrt[2]{{((x_{2} - x_{1}))}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}$

También es válida la siguiente fórmula, donde se invierte la diferencia de los valores en los ejes.
$d = \sqrt[2]{{((x_{1} - x_{2}))}^{2} + {(y_{1} - y_{2})}^{2}}$

Ejercicios

Selecciona la opción correcta.

Determina la distancia entre los puntos A(-10, -6) y B(26, -17):
Determina la distancia entre los puntos A(-23, -5) y B(-12, -13):
Determina la distancia entre los puntos A(1, 2) y B(-25, -15):
Determina la distancia entre los puntos A(2, -7) y B(30, 24):
Determina la distancia entre los puntos A(-8, -26) y B(-24, -11):
Determina la distancia entre los puntos A(-16, 9) y B(5, 21):
Determina la distancia entre los puntos A(-3, -27) y B(-29, 18):
Determina la distancia entre los puntos A(19, -21) y B(22, 6):
Determina la distancia entre los puntos A(15, 3) y B(16, 8):
Determina la distancia entre los puntos A(23, 10) y B(-14, -19):
Determina la distancia entre los puntos A(25, -22) y B(-28, -29):
Determina la distancia entre los puntos A(28, 13) y B(-20, 0):

Perímetros y áreas

Es posible ubicar figuras geométricas en el plano cartesiano, y con la geometría analítica podemos obtener datos que calculamos cuando no usamos un plano, entonces ¿Cómo se calcula su área y perímetro? Comencemos con lo más sencillo, el perímetro.

Este concepto se refiere a la suma de la medida de sus lados. Se puede calcular analíticamente haciendo uso de la fórmula que usamos en "distancia de 2 puntos", para facilitar el trabajo hay que distinguir entre polígono regular e irregular, véase la siguiente imagen:

Teniendo claro lo que son los polígonos regulares e irregulares, se puede mencionar que cuando se tenga un polígono con todos sus lados iguales se deberá calcular la distancia entre dos vértices y posteriormente, multiplicar el resultado por la cantidad de lados del polígono.

Lo anterior no se puede hacer en aquellas figuras cuyos lados no son iguales, puesto que en este caso es necesario calcular la distancia entre cada uno de los pares de vértices que la componen.

El área es la superficie delimitada por el perímetro. Para calcular el área de una figura que se encuentra en el plano cartesiano se hará uso de la siguiente fórmula:

á r e a = \frac{1}{2} \det [\begin{matrix} \begin{matrix} \begin{matrix} x_{1} & y_{1} \\ x_{2} & y_{2} \\ ⋮ & ⋮ \end{matrix} \\ \begin{matrix} x_{n} & y_{n} \end{matrix} \end{matrix} \\ \begin{matrix} x_{1} & y_{1} \end{matrix} \end{matrix}]

No te asustes, puede parecer algo complejo por la introducción del concepto determinante pero para ello vamos a explicar paso por paso.

A continuación explicaremos cómo hacer los cálculos del perímetro y área en ambos casos, partiendo por explicar el término de determinante.
El determinante es un valor que se asocia a una matriz, es decir, una medida numérica que proporciona información importante acerca del conjunto de elementos de la matriz y sus transformaciones lineales.
Y con lo anterior ingresa un nuevo término, "matriz".
La matriz se entiende como un conjunto de números, distribuidos a través de columnas y filas, en la fórmula del perímetro la matriz se compone de 2 columnas y x filas.

Para escribir la determinante de la fórmula se escogerá un punto y se irán recorriendo en sentido contrario de las manecillas del reloj hasta llegar y escribir la coordenada por la que se empezó.

Todo lo anterior lo veremos aplicado en el siguiente ejemplo.

Las coordenadas de cada vértice son las siguientes:
A(0, 4)
B(-3, 3)
C(-2, 2)
D(1, 2)

Con esto, lo primero a calcular será el perímetro, sacando la medida de los 4 segmentos o aristas; dado que es un polígono irregular, se tendrá que calcular la medida de cada segmento, vamos paso por paso.

Segmento AB

d = \sqrt[2]{{((x_{2} - x_{1}))}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}

d = \sqrt{{((- 3 - 0))}^{2} + {((3 - 4))}^{2}}

d = \sqrt{{(- 3)}^{2} + {((- 1))}^{2}}

d = \sqrt{9 + 1}

d = \sqrt{10}

d = 3.1

Segmento BC

d = \sqrt[2]{{((x_{2} - x_{1}))}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}

d = \sqrt{{[- 2 - (- 3)]}^{2} + {((2 - 3))}^{2}}

d = \sqrt{{((- 2 + 3))}^{2} + {((- 1))}^{2}}

d = \sqrt{{(1)}^{2} + {((- 1))}^{2}}

d = \sqrt{1 + 1}

d = \sqrt{2}

d = 1.4

Segmento CD

d = \sqrt[2]{{((x_{2} - x_{1}))}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}

d = \sqrt{{([1 - [(- 2)]])}^{2} + {((2 - 2))}^{2}}

d = \sqrt{{((1 + 2))}^{2} + {(0)}^{2}}

d = \sqrt{{(3)}^{2} + 0}

d = \sqrt{9}

d = 3

Segmento DA

d = \sqrt[2]{{((x_{2} - x_{1}))}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}

d = \sqrt{{((0 - 1))}^{2} + {((4 - 2))}^{2}}

d = \sqrt{{(- 1)}^{2} + {(2)}^{2}}

d = \sqrt{1 + 4}

d = \sqrt{5}

d = 2.2

Ya con la medida de los lados calculada, es momento de sumar los resultados a fin de obtener la medida del perímetro:

p = 3.1 + 1.4 + 3 + 2.2

p = 9.7

Ahora, para obtener el área es momento de emplear la fórmula, sustituyendo los valores en primera instancia. Para ello, empezaremos recorriendo los puntos del A al B, en sentido contrario a las manecillas del reloj, de esta manera, las coordenadas se sustituyen en el siguiente orden:

A
B
C
D
A
Veámoslo a continuación:

á r e a = \frac{1}{2} \det [[\begin{matrix} \begin{matrix} \begin{matrix} x_{1} & y_{1} \\ x_{2} & y_{2} \\ ⋮ & ⋮ \end{matrix} \\ \begin{matrix} x_{n} & y_{n} \end{matrix} \end{matrix} \\ \begin{matrix} x_{1} & y_{1} \end{matrix} \end{matrix}]]

á r e a = \frac{1}{2} \det [[\begin{matrix} \begin{matrix} \begin{matrix} 0 & 4 \\ - 3 & 3 \\ - 2 & 2 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 1 & 2 \end{matrix} \end{matrix} \\ \begin{matrix} 0 & 4 \end{matrix} \end{matrix}]]

Posteriormente se multiplican las diagonales descendentes y al resultado se le resta el producto de las diagonales ascendentes, es decir:

NOTA: Las flechas rojas corresponden a las diagonales ascendentes y las azules las diagonales descendentes.

[((0 * 3)) + ((- 3 * 2)) + ((- 2 * 2)) + ((1 * 4)]) - ([(- 3 * 4)) + ((- 2 * 3)) + ((1 * 2)) + ((0 * 2)])

(0 - 6 - 4 + 4) - (- 12 - 6 + 2 + 0)

(- 10 + 4) - (- 18 + 2)

(- 6) - (- 16)

- 6 + 16

10

Todo lo que se hizo anteriormente fue calcular el determinante, empero, falta algo muy importante de la fórmula, dividir entre 2:

á r e a = \frac{1}{2} |(10)|

á r e a = \frac{10}{2}

á r e a = 5

Con todos estos cálculos llegamos a los siguientes resultados:
Perímetro = 9.7u
Área = 5u²

Ahora, se explicará tomando un polígono regular, verdaderamente no hay una gran diferencia más que el perímetro se calcula más rápido. Veámoslo para entenderlo mejor.

Las coordenadas de los puntos son las siguientes:
A(0, 0)
B(1, 0)
C(1.6, 0.7)
D(1.4, 1.7)
E(0.5, 2.1)
F(-0.4, 1.7)
G(-0.6, 0.7)

Lo primero a calcular será el perímetro, tomando como referencia el segmento AB:

d = \sqrt[2]{{((x_{2} - x_{1}))}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}

d = \sqrt{{((1 - 0))}^{2} + {((0 - 0))}^{2}}

d = \sqrt{1}

d = 1

La medida de dicho segmento es 1, pues bien, como se trata de un heptágono ese 1 se multiplica por 7, siendo así su perímetro igual a 7.

p = 1 * 7

p = 7

Lo que ahora queda por hacer es calcular el área, para ello iniciamos sustituyendo en la fórmula que ya conocemos:

á r e a = \frac{1}{2} \det [[\begin{matrix} \begin{matrix} \begin{matrix} x_{1} & y_{1} \\ x_{2} & y_{2} \\ ⋮ & ⋮ \end{matrix} \\ \begin{matrix} x_{n} & y_{n} \end{matrix} \end{matrix} \\ \begin{matrix} x_{1} & y_{1} \end{matrix} \end{matrix}]]

á r e a = \frac{1}{2} \det [[\begin{matrix} \begin{matrix} \begin{matrix} \begin{matrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \\ 1.6 & 0.7 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 1.4 & 1.7 \end{matrix} \end{matrix} \\ \begin{matrix} 0.5 & 2.1 \end{matrix} \end{matrix} \\ \begin{matrix} - 0.4 & 1.7 \\ - 0.6 & 0.7 \end{matrix} \end{matrix}]]

Tras esto, procedemos a calcular la determinante:

[((0 * 0) + (1 * 0.7) + (1.6 * 1.7) + (1.4 * 2.1) + (0.5 * 1.7) + (- 0.4 * 0.7))] - [((1 * 0) + (1.6 * 0) + (1.4 * 0.7) + (0.5 * 1.7) + (- 0.4 * 2.1) + (- 0.6 * 1.7))]

[(0 + 0.7 + 2.72 + 2.94 + 0.85 - 0.28]) - [(0 + 0 + 0.98 + 0.85 - 0.84 - 1.02)]

6.93 - [- 0.03]

6.93 + 0.03

6.96

á r e a = \frac{1}{2} |6.96|

á r e a = \frac{6.96}{2}

á r e a \approx 3.48

Con esto obtenemos que el área = 3.48 y el perímetro = 7.
Con los dos casos explicados y previo a los ejercicios, analizaremos 2 ejemplos más, ahora aplicando esto a situaciones comunes.

Ejemplos

1. Raúl tiene una granja y recientemente compró un nuevo terreno donde planea construir un corral para sus vacas. Por el momento cuenta con 10 tablas de 15 metros. Según el perímetro del corral ¿Le sobran o le faltan tablas para colocar alrededor? Y ¿Qué área tiene? Véase el siguiente dibujo:

NOTA: La medida de los lados están en decámetros .
Coordenadas
A(0, 4)
B(2,2)
C(6, 4)
D(2, 6)

Comenzamos con el perímetro, al ser un polígono irregular habrá que calcular segmento por segmento.

Segmento AB

d = \sqrt[2]{{((x_{2} - x_{1}))}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}

d = \sqrt{{((2 - 0))}^{2} + {((2 - 4))}^{2}}

d = \sqrt{{(2)}^{2} + {((- 2))}^{2}}

d = \sqrt{4 + 4}

d = \sqrt{8}

d = 2.8

Segmento BC

d = \sqrt[2]{{((x_{2} - x_{1}))}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}

d = \sqrt{{((6 - 2))}^{2} + {((4 - 2))}^{2}}

d = \sqrt{{(4)}^{2} + {(2)}^{2}}

d = \sqrt{16 + 4}

d = \sqrt{20}

d = 4.4

Segmento CD

d = \sqrt[2]{{((x_{2} - x_{1}))}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}

d = \sqrt{{((2 - 6))}^{2} + {((6 - 4))}^{2}}

d = \sqrt{{(- 4)}^{2} + {(2)}^{2}}

d = \sqrt{16 + 4}

d = \sqrt{20}

d = 4.4

Segmento DA

d = \sqrt[2]{{((x_{2} - x_{1}))}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}

d = \sqrt{{((0 - 2))}^{2} + {((4 - 6))}^{2}}

d = \sqrt{{(- 2)}^{2} + {((- 2))}^{2}}

d = \sqrt{4 + 4}

d = \sqrt{8}

d = 2.8

En este caso podemos apreciar que dos de los segmentos miden lo mismo, esto se puede visualizar desde el dibujo, sin embargo, en este ejemplo calculamos los 4 para comprobar esta afirmación.
Sumamos estas cantidades para obtener finalmente el perímetro:

p = 2.8 + 2.8 + 4.4 + 4.4

p = 14.4

Como el problema nos indica que la medida de los lados se encuentra en decímetros, hay que convertir el perímetro de dam a m, siendo entonces 144m

Ahora, el planteamiento nos indica que Raúl ya tiene 10 tablas de 15 metros, esto entonces cubre 150m, por ende, no le harán falta tablas.

Lo único que hace falta es calcular el área que tendrá el corral. En este caso, según la imagen de referencia, comenzaremos por el punto D, continuando por el punto A y así sucesivamente, en sentido contrario a las manecillas del reloj.

á r e a = \frac{1}{2} \det [[\begin{matrix} \begin{matrix} \begin{matrix} x_{1} & y_{1} \\ x_{2} & y_{2} \\ ⋮ & ⋮ \end{matrix} \\ \begin{matrix} x_{n} & y_{n} \end{matrix} \end{matrix} \\ \begin{matrix} x_{1} & y_{1} \end{matrix} \end{matrix}]]

á r e a = \frac{1}{2} \det [[\begin{matrix} \begin{matrix} 2 & 6 \\ 0 & 4 \\ 2 & 2 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 6 & 4 \\ 2 & 6 \end{matrix} \end{matrix}]]

[([(2 * 4)) + ((0 * 2)) + ((2 * 4)) + ((6 * 6)])] - [([(0 * 6)) + ((2 * 4)) + ((6 * 2)) + ((2 * 4)])]

[(8 + 0 + 8 + 36)] - [(0 + 8 + 12 + 8)]

52 - 28

24

á r e a = \frac{1}{2} |24|

á r e a = \frac{24}{2}

á r e a = 12

El área entonces es de 12dam², en m² equivale a 120.
Con esto el problema queda resuelto.

2. En el patio de Alejandra se va a construir una piscina cuadrada, pero necesita saber cuántas baldosas de 9cm2 necesita para cubrir el piso de la alberca. Calcular el área para saber cuántos cuadrados se necesitarán para cubrir el piso. Véase la siguiente imagen:

Coordenadas
A(3, 1)
B(3, 3)
C(1, 3)
D(1, 1)

En este caso no se solicita perímetro, por lo cual iremos directamente al área, comenzando a calcular el determinante. Según la imagen del cuadrado, comenzaremos por el punto B y seguiremos con el C, contrario a las manecillas del reloj:

á r e a = \frac{1}{2} \det [[\begin{matrix} \begin{matrix} \begin{matrix} x_{1} & y_{1} \\ x_{2} & y_{2} \\ ⋮ & ⋮ \end{matrix} \\ \begin{matrix} x_{n} & y_{n} \end{matrix} \end{matrix} \\ \begin{matrix} x_{1} & y_{1} \end{matrix} \end{matrix}]]

á r e a = \frac{1}{2} \det [[\begin{matrix} \begin{matrix} 3 & 3 \\ 1 & 3 \\ 1 & 1 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 3 & 1 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 3 & 3 \end{matrix} \end{matrix}]]

[([(3 * 3)) + ((1 * 1)) + ((1 * 1)) + ((3 * 3)])) - [([(1 * 3)) + ((1 * 3)) + ((3 * 1)) + ((3 * 1)])]

[[9 + 1 + 1 + 9]] - [[3 + 3 + 3 + 3]]

20 - 12

8

á r e a = \frac{1}{2} ||8||

á r e a = \frac{8}{2}

á r e a = 4

La superficie es de 4m2, y el problema solicita calcular cuántas baldosas son las que se necesitan para cubrir el área.
4m2 corresponde a 400cm2, las baldosas son de 9cm2 entonces:
$400 \div 9$
$44.4$
$44 (9) = 396$

El resultado es decimal, tomando la parte entera nos indica que se necesitan 44 baldosas, que cubren 396cm2:

400 - 396 = 4

Harían falta 4cm2, por ello sería necesario recortar una baldosa para cubrir todo, la baldosa tiene de área 9cm2, es decir, mide 3cm cada lado, por lo que se requiere que se reduzca a 2cm para que el área sea de 4cm2 y así se pueda cubrir el piso de la piscina.

Entonces, el área es de 4m2, por lo que se necesitan 44 baldosas de 9cm2 y 1 de 4cm2.

Ejercicios

1. Selecciona la respuesta correcta.
a)En un campo se destinará una parte para plantar árboles frutales, cada árbol necesita de 1.5m2. Las coordenadas de la figura son las siguientes:

A(1.25, 6)
B(0, 8)
C(3, 7.5)

NOTA: La medida de los lados se encuentra en hm, convertir el área a m2.

¿Cuál es el área del terreno?
270m²
200m²
290m²

¿Cuántos árboles se podrán plantar?
200
180
20

b)Se desea cercar un terreno que tiene las siguientes coordenadas:

A(0, 100)
B(50, 200)
C(150, 150)
D(50, 150)
E(100, 100)

Determinar cuántos metros de alambre se necesitan y cuánto dinero requieren si cada metro cuesta $25.50.

Alambre
96.3m
502.36m
494.3m

Dinero
$19.38
$15.45
$100.25

c)La siguiente superficie corresponde a un espacio cuyo borde se desea adornar con listón. ¿Cuántos metros se necesitan?

A(5, 10)
B(10, 5)
C(15, 20)
D(0, 15)
E(5, 15)

48.7m
54.2m
61.4m

d)Rodrigo quiere comprar un terreno grande, tiene las siguientes opciones, ¿Cuál le conviene? Es decir, ¿Qué terreno tiene más m2?

Terreno A

A(41.5, 99.3)
B(98.2, 42.6)
C(200, 200)
D(100, 300)

Terreno B

E(100, 500)
F(22.01, 420.4)
G(500, 400)

Terreno C

H(400, 300)
I(300, 300)
J(272.8,203.08)
K(400, 100)
L(500, 200)

Terreno A
Terreno B
Terreno C

e)Antonio compró dos propiedades, por el momento requiere colocar una barda que tenga 2 metros de altura. ¿Cuántos ladrillos de 150cm2 (30cm x 5 cm) va a necesitar en total para ambos terrenos?
Figura A

A(31.3,99.1)
B(100, 0)
C(150, 150)
D(50, 200)

E(250, 50)
F(250, 200)
G(300, 100)

1000
1280
1080

2. Selecciona el área y perímetro correcto.

a)

A(0, 40)
B(80, 0)
C(80,160)
D(40,160)
E(0,120)
F(20,80)

Área
5700u²
9600u²
8452u²

Perímetro
135u
522.8u
435.4u

A(18,94)
B(20,98)
C(22,94)
D(26,94)
E(22,92)
F(24,88)
G(20,90)
H(16,88)
I(18,92)
J(14,94)

Área
40u²
50u²
60u²

Perímetro
36u
56u
44u

A(-14.5, 0)
B(-10,-10)
C(4.03, 4.01)
B(-10,-10)
E(20,20)
F(-5.7, 28)
G(-13.9, 18.1)
H(-10,10)

Área
744.12u²
806.9u²
1203.6u²

Perímetro
523.7u
142.2u
137.5u

A(-21.7, -218.2)
B(-98.9, -168.04)
C(-100,-50)
D(100,-100)

Área
7896.45u²
15423.8u²
19405.5u²

Perímetro
145u
586.1u
786.8u

A(-50.5, -19.1 )
B(0,-100)
C(29.6, -50.3)
D(10.08, -19.7)
E(11.3, 40.3)
F(-50,50)
G(-21.7, 21.9)

Área
6339.3u²
6524.9u²
6879.3u²

Perímetro
401.8u
578.4u
17.5u

Resumen

Por último, dejaremos un formulario con todas las fórmulas que se vieron a lo largo de la progresión.

Nombre	Fórmula
Teorema de Pitágoras	$a^{2} + b^{2} = c^{2}$
Valor de los catetos	$c_{1} = y_{2} - y_{1}$ $c_{2} = x_{2} - x_{1}$
Distancia entre dos puntos	$d = \sqrt[2]{{((x_{2} - x_{1}))}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}$
Área de una figura	$á r e a = \frac{1}{2} \det \begin{matrix} [\begin{matrix} \begin{matrix} x_{1} & y_{1} \\ x_{2} & y_{2} \\ ⋮ & ⋮ \end{matrix} \\ \begin{matrix} x_{n} & y_{n} \end{matrix} \end{matrix} \\ \begin{matrix} x_{1} & y_{1} \end{matrix} \end{matrix}]$

¿Listo para la prueba final? ¡Recuerda tomar tu tiempo para contestar cada enunciado! Esta vez serán tomados en cuenta para comparar tu progreso.