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Progresion 12

Pro gre sión 12

Modela situaciones y resuelve problemas significativos para el estudiantado tanto de manera algebraica como geométrica al aplicar propiedades básicas de funciones lineales, cuadráticas y polinomiales.

Metas

M2

Construye un modelo matemático, identificando las variables de interés, con la finalidad de explicar una situación o fenómeno y/o resolver un problema tanto teórico como de su entorno.

Categorías

C3

Solución de problemas y modelación.

Subcategorías

S2

Construcción de modelos.

S1

Estrategias heurísticas y ejecución de procedimientos no rutinarios

Índice
Conceptos clave
Definición de función
Funciones lineales

Pendiente

Ordenada

Funciones cuadráticas

Orientación

Funciones polinomiales

Funciones cúbicas

Funciones cuárticas

Ejercicios
Resumen

Conceptos clave

Función. Es una relación de correspondencia entre dos números.
Variable independiente. Es aquella que, como su nombre lo indica, no depende de ninguna otra variable, asimismo, es la que define a la variable dependiente.
Variable dependiente. Depende del valor de otra variable, es decir, de la independiente.
Pendiente. Medida de la inclinación de una recta.

Definición de función

Una función se trata de una relación entre una magnitud y otra, en donde el valor de la primera depende de la segunda.
En una función hay que considerar dos elementos:

Como ejemplo, podemos considerar la relación entre la medida del lado de un cuadrado y el área del mismo:

Medida del lado	Área del cuadrado
1	1
2	4
3	9
4	16
5	25
6	36
7	49

En el modelo interactivo se presenta lo mismo que se plantea en la tabla de valores. Arrastra el punto B para definir la medida del lado del cuadrado y nota que su área cambia en función de dicho valor.
Para este ejemplo, la función que se utiliza es la siguiente: $f ((x)) = x^{2}$

Ahora, con esta breve introducción, entremos de lleno a ver lo que son las funciones lineales, cuadráticas y polinomiales.

Función lineal

Este tipo de funciones son funciones polinómicas de primer grado, es decir, donde el exponente de la variable es 1 y cuya gráfica es una línea recta.

Estas funciones se escriben de la siguiente manera $f ((x)) = \pm m x \pm b$
Donde:
m y b son constantes
x es una variable

Teniendo en cuenta esta representación se puede decir que:
$m$ es la pendiente de la recta, $b$ es el valor del eje y donde x = 0

En algunos casos encontraremos que la función lineal únicamente se representa de la forma $f ((x)) = \pm m x$ e incluso así su recta en el plano cartesiano continuará siendo una recta pues el exponente de la variable se mantiene en 1.

f (x) = \pm m x \pm b

Es el coeficiente que acompaña a la variable lineal. También se le conoce como pendiente.

Es la variable lineal, esto es, de exponente 1.

Término independiente o constante. También se le conoce como ordenada.

Pendiente

Como se mencionó anteriormente, las funciones lineales constan de una pendiente y una ordenada.
La pendiente (m) se refiere al coeficiente de la variable.

Por ejemplo:
$f ((x)) = - 2 x + b$
La pendiente de la función corresponde a -2.
$f ((x)) = 3 x + b$
En este caso, la pendiente es 3.
$f ((x)) = - x + b$
Aunque como tal no hay un número "visible", en este caso la variable tiene como coeficiente al -1.
$f ((x)) = x + b$
Asimismo, la pendiente de esta expresión corresponde al 1.

Para los dos últimos casos es importante recordar que cuando una variable no viene acompañada de un número es porque su coeficiente es 1.
¿Y qué papel tiene la pendiente en una función lineal?
Pues bien, este elemento no está únicamente de adorno, debido a que dependiendo de su valor se puede determinar qué tan inclinada es la recta.
Mientras más grande lo sea, mucho más inclinada lo estará. Para ello véase la siguiente gráfica:

En la figura se aprecia que la función f(x), cuyo coeficiente es el más pequeño, se encuentra más cercana al eje x, es decir, es la que menos inclinación tiene, a diferencia de la función q(x), la cual se halla más cercana al eje y por su mayor nivel de inclinación.

Del mismo modo, por medio del signo de la pendiente se puede determinar si la función crece o decrece.
Cuando m > 0, entonces la pendiente es creciente.
Cuando m < 0, entonces la pendiente es decreciente.
Importante. $m \neq 0$ , esto porque en caso de que el coeficiente de la literal sea 0 entonces al multiplicarse por x también daría 0, es decir, no habría una variable y por lo tanto tampoco una recta.

A continuación se muestra un ejemplo de esto:

En la imagen quizás no quede muy claro esto de decreciente, así que para ello se proporciona la siguiente tabla de valores que nos permitirá comprender por qué la negativa decrece y la positiva crece.

x	r(x)	s(x)
-2	11	-9
-1	6	-4
0	1	1
1	-4	6
2	-9	11

En este modelo creado con Geogebra se aprecia el el crecimiento y decrecimiento de estas funciones, siendo la función naranja aquella que decrece, pues como se ve en la tabla inicia desde el valor 11 y termina en el -9.
Entretanto, la función azul es aquella que crece debido a que comienza en el -9 y sube al 11.

Ordenada

Por otro lado, la ordenada se refiere al punto o coordenada donde la recta corta o interseca con el eje y.
Por ejemplo:

En la imagen se tiene dos funciones cuyas ordenadas son de "5" y "-3", y en efecto, estas tocan el eje y en sus respectivos puntos, señalados por los puntos A y B, respectivamente.

Funciones cuadráticas

Esta función también pertenece a las funciones polinómicas, se caracteriza por el hecho de que la variable está elevada a la segunda potencia, es decir, al cuadrado.

Dichas funciones se representan de la siguiente manera $f (x) = \pm a x^{2} \pm b x \pm c$

Estas funciones son las fórmulas matemáticas que definen una curva. Generalmente al graficarlas se obtendrá la forma de una "U", o bien, de una parábola.

A continuación, se muestra la estructura de estas funciones. Pulsa sobre cada elemento para que veas una descripción de estos.

f (x) = \pm a x^{2} \pm b x \pm c

Es el coeficiente que acompaña a la variable cuadrática.

Es la variable cuadrática, esto es, elevado a la segunda potencia.

Coeficiente del término lineal.

Variable lineal, es decir, con exponente 1.

Constante, es decir, cualquier número real.

Normalmente, esta función suele contener los 3 términos del ejemplo, empero, en ciertas ocasiones únicamente se presente con sólo 2 de ellos: $f ((x)) = - x^{2} + 6$
Al igual que puede contener únicamente el término cuadrático:
$f ((x)) = x^{2}$

Del mismo modo, existen casos en los que la expresión cuadrática no está del todo desarrollada por lo que se tendrían que efectuar las operaciones pertinentes, tal y como se presente en el siguiente ejemplo:

f (x) = - 3 {(x + 2)}^{2} - 5

f (x) = - 3 (x^{2} + 4 x + 4) - 5

f (x) = - 3 x^{2} - 12 x - 12 - 5

f (x) = - 3 x^{2} - 12 x - 17

Orientación

Una función cuadrática al ser graficada puede adoptar 2 formas:

La parábola coloreada en azul es convexa, es decir, a> 0
En el caso de que a < 0, entonces la parábola será cóncava, tal y como lo es la coloreada en rosado.

Para entender mejor esto, véase el siguiente modelo interactivo; manipula el valor de a y comprueba que cuando esta variable es positiva se obtendrá una parábola convexa (abierta hacia arriba) y cuando es negativa el resultado será una cóncava (abierta hacia abajo).

Funciones polinomiales

Esta clasificación comprende a las funciones desde el grado 1, sin embargo, para el estudio de la progresión se referirá a estas como aquellas que tiene exponente 3 o mayor.

Funciones cúbicas

En estas entran las funciones cúbicas, es decir, de grado 3, cuya forma general es la siguiente expresión: $f (x) = \pm a x^{3} \pm b x^{2} \pm c x \pm d$

f (x) = \pm a x^{3} \pm b x^{2} \pm c x \pm d

Es el coeficiente que acompaña a la variable cúbica.

Es la variable cúbica, esto es, elevada a la tercera potencia.

Coeficiente del término cuadrático.

Variable cuadrática, es decir, con exponente 2.

Variable lineal, es decir, con exponente 1.

Coeficiente del término lineal.

Constante, es decir, cualquier número real. Es el término independiente.

Asimismo, la gráfica de esta función suele tener forma de sigmoide, es decir, una "S", la cual se presenta a continuación:

No obstante, esta singular forma se va deformando conforme los coeficientes de los términos que forman la función adquieren valor.

Un ejemplo de esto es el siguiente:

Funciones cuárticas

El siguiente exponente es el 4, estas son las denominadas funciones cuárticas y su forma general es la siguiente: $f (x) = \pm a x^{4} \pm b x^{3} \pm c x^{2} \pm d x \pm e$

f (x) = \pm a x^{4} \pm b x^{3} \pm c x^{2} \pm d x \pm e

Es el coeficiente del término cuártico.

Es la variable cuártica, esto es, elevada a la cuarta potencia.

Coeficiente del término cúbico.

Variable cúbica, es decir, con exponente 3.

Es el coeficiente del término cuadrático.

Es la variable cuadrada, esto es, elevada a la segunda potencia.

Coeficiente del término lineal.

Término lineal.

Constante, es decir, cualquier número real. Término independiente.

Si se toma la función $f (x) = x^{4}$

Su modelo gráfico quedaría como el que se muestra a continuación:

Estas funciones suelen adoptar una forma de "w", aunque la función más sencilla de esta clasificación no lo permita ver, la siguiente sí que lo hará.

Podríamos seguir analizando cómo cambian las funciones dependiendo de su exponente, pero jamás acabaríamos. Si te interesa, puedes manipular el siguiente modelo a fin de checar las múltiples formas que una función puede tomar al momento de ser graficada.