Índice
Conceptos clave
¿Qué veremos?
Mensualidad

Ejemplos

Ejercicios

Interés simple

Ejemplos

Ejercicios

Ejercicio general

Proyecto de vida

Resumen de la progresión

Conceptos clave

Proyecto de vida. Un plan que una persona se traza para conseguir objetivos en la vida, es un camino para alcanzar metas.

Matemáticas financiera. Rama de la Matemática Aplicada que estudia el valor del dinero en el tiempo, al combinar elementos fundamentales como capitales, tasa, tiempo etc., para conseguir un rendimiento o interés

Interés simple. Es el que se recibe solo sobre la cantidad prestada

Mensualidad. Cantidad que se paga mensualmente por una compra o servicio.

Interés compuesto. Se calcula sobre la cantidad prestada más el interés que se ha ido acumulando.

Amortización capital. Devolución de una cantidad de dinero que se ha solicitado a modo préstamo o crédito.

Intereses devengados. Importe de intereses correspondiente a un periodo de tiempo ya transcurrido aún no cobrado o pagado.

Capitalización. En base a las ganancias obtenidas tomar una parte de ellas con el fin de incrementar el capital o la inversión inicial propia.

¿Qué veremos?

En este tema veremos lo que es aplicar álgebra, porcentajes, exponenciales y conceptos de matemática financiera para tomar decisiones informadas sobre el proyecto de vida.

Así como el concepto de deuda y ahorros.

La deuda es la obligación que alguien tiene de pagar, satisfacer o reintegrar a otra persona algo, por lo común dinero.
Los ejemplos de deuda son: Tarjetas de crédito, préstamos educativos, préstamos para automóviles muy caros, etc.

Los ahorros son la práctica de guardar una parte de los ingresos recibidos para un fin que beneficie.
Los ejemplos de ahorro son: Ahorrar para un objetivo. Si tu objetivo es comprar un automóvil debes establecer una cantidad semanal o mensual para cumplir con el objetivo.
Ahorro de emergencia, enfocado a resolver gastos que se presenten de emergencia. Por ejemplo, al haber ahorrado por un periodo de tiempo se tendrá dinero almacenado que podrá utilizarse en caso afrontar una situación de enfermedad o desempleo.
En pocas palabras, el ahorro es la parte del dinero guardada para poder gastarla más adelante.

Mensualidad

Es el pago periódico, generalmente mensual, que se realiza por un préstamo, hipoteca o servicio.
La mensualidad incluye la amortización del capital más los intereses devengados en ese período. Esto quiere decir que, por cada pago mensual que se haga, se irá reduciendo la deuda.

Para calcular la mensualidad tendremos algunos casos, dependiendo del caso se establece la fórmula a utilizar.
Para el estudio de esta progresión únicamente vamos a considerar los dos siguientes casos:
-Cuando no se especifica tasa de interés.
-Cuando el problema sí proporciona una tasa de interés mensual.

Entonces, tendremos las siguientes fórmulas:
Cuando no hay tasa de interés:

M = \frac{P}{n}

Donde M = Mensualidad
P = Monto inicial
n = Plazo de tiempo en meses

Cuando sí hay tasa de interés:

M = \frac{P r}{1 - {((1 + r))}^{- n}}

Donde M = Mensualidad
P = Monto inicial
r = Tasa de interés mensual (puede ser en años pero para eso n también debe de estar expresada en años)
n = Plazo de tiempo en meses

Ejemplos

A continuación, veremos unos cuantos ejemplos para ambos casos.

Caso 1.

1.1. Gilberto ha encontrado una vivienda donde por un plazo de 34 meses le indican que debe cubrir un total de $42000. ¿Cuál es la mensualidad que debe pagar para costear el alquiler?
Para este caso únicamente vamos a sustituir los valores en la primera fórmula.
Nuestros datos son los siguientes:
n = 34
P = 42000
M = ?

Hacemos la división:

M = \frac{42000}{34}

M = 1235.29

Y así sabemos que la mensualidad que Gilberto deberá pagar es de $1235.29

1.2. Leonor ha estado pagando una mensualidad de $420 por su servicio de internet a lo largo de 3 años, ¿Cuánto ha gastado en total durante ese periodo?
En este ejemplo no se nos pide calcular la mensualidad sino el monto total, es decir, P:
M = 420
n = 3 años =

3 a ñ o s \times \frac{12 m e s e s}{1 a ñ o}

= 36 meses
P = ?

Inicialmente, sustituyendo tendremos la siguiente expresión:

420 = \frac{P}{36}

Por ende, vamos a despejar la variable P, dejando a esta en su lugar, por lo que en este caso pasaremos el 36 al primer miembro.
Como está dividiendo, pasará multiplicando al 420; y de esa forma podemos hacer la multiplicación y conocer el valor de P.

420 ((36)) = P

15120 = P

Entonces, el resultado es $15120, esta es la cantidad que Leonor ha gastado por su servicio de internet.

1.3. Selena pidió prestados $30000 a una de sus amigas, la cual aceptó siempre y cuando Selena le fuera pagando mensualmente $670. ¿Cuánto tiempo tardará Selena en saldar su deuda?
Los datos que nos brinda el problema son los siguientes:
P= 30000
M = 670
n = ?
Para calcular el plazo de tiempo es necesario sustituir los valores en nuestra ecuación:

670 = \frac{30000}{n}

Ahora, procedemos a despejar la variable n, la cual al estar dividiendo pasa multiplicando, y como M quedaría multiplicando, pasa al segundo miembro pero en su inversa, dividiendo.

n = \frac{30000}{670}

n = 44.7

Entonces, a Selena le tomarán entre 44 y 45 meses pagar los $30000 a su amiga, siempre y cuando no se atrase ni falte en la mensualidad impuesta.

Caso 2.

2.1. Una compañía solicitó al banco un préstamo de $900000 con una tasa de interés mensual del 7% y un plazo de 20 meses. ¿Cuál es la mensualidad que deben pagar al banco?
Ahora para estos problemas usaremos la segunda fórmula, debido a que en estos enunciados sí nos indican una tasa de interés mensual.
Los datos para el primero son:
P= 900000
r = 7 = 7/100 = 0.07
n = 20
M = ?

Vamos a sustituir en la fórmula y efectuar las operaciones respetando su respectiva jerarquía:

M = \frac{900000 (0.07)}{1 - {((1 + 0.07))}^{- 20}}

M = \frac{63000}{1 - {((1.07))}^{- 20}}

M = \frac{63000}{1 - 0.2584}

M = \frac{63000}{0.7415}

M = 84953.63

Entonces, la mensualidad que debe pagar la compañía debe de ser de $84953.63

2.2. Arturo pidió al banco un préstamo de 15000 el cual asegura pagar en 2 años y medio, el banco le impone una tasa de interés mensual del 3.5%. ¿Qué mensualidad deberá ir pagando Arturo?
Nuestros datos:
P= 15000
r = 3.5 = 3.5/100 = 0.035
n = 2 años y 6 meses = 12(2) + 6 = 30 meses
M = ?

Como primer paso sustituimos los datos que tenemos y llevamos a cabo las operaciones correspondientes:

M = \frac{15000 (0.035)}{1 - {((1 + 0.035))}^{- 30}}

M = \frac{525}{1 - {((1.035))}^{- 30}}

M = \frac{525}{1 - 0.3562}

M = \frac{525}{0.6437}

M = 815.56

Así, Arturo deberá hacer pagos mensuales de $815.56 a lo largo de esos 2 años y medio.

Ejercicios

Calcula la mensualidad de los siguientes casos.

Interés compuesto

Es el interés calculado sobre el capital inicial y también sobre los intereses acumulados en periodos anteriores.
El interés se va sumando al capital, por lo que cada período se cobra interés sobre un monto mayor. Permite la capitalización de intereses para potenciar el crecimiento de lo invertido. Por ende, en este tipo de interés hay un crecimiento exponencial.
La fórmula que emplearemos para calcular este interés es la siguiente:

V f = C {(1 + i)}^{t}

Donde Vf = Interés compuesto
C = Capital/monto inicial
i = Tasa de interés anual o mensual
t = Periodo en años o meses
Nota: Tanto i como t pueden expresarse en años siempre y cuando ambas lo estén, es decir, i no puede ser anual si t se expresa en meses y viceversa.

Ahora, veremos unos cuantos ejemplos sobre cómo usar esta fórmula.

Ejemplos

1. Dos hermanas han estado ahorrado $12000 y los han depositado en una cuenta de banco que les ofrece una tasa de interés anual del 15%. ¿Qué cantidad obtendrán al cabo de 2 años?
Comenzamos por sustituir en la fórmula los datos que tenemos:
C = 12000
i = 15% = 0.14
t = 2
Vf = ?

V f = 12000 {(1 + 0.14)}^{2}

Siguiendo la jerarquía ejecutamos las operaciones para llegar al resultado.

V f = 12000 {(1.14)}^{2}

V f = 12000 (1.2996)

V f = 15595.2

De tal manera, el valor final que obtendrán las hermanas será de $15595.2

2. Se han depositado $3000000 en una cuenta que ofrece una tasa de interés anual del 20%. ¿Cuánto dinero se podrá retirar cuando hayan pasado 9 años?
Nuestros datos iniciales son:
C = 3000000
i = 20% = 0.2
t = 9
Vf = ?

V f = 3000000 {(1 + 0.2)}^{9}

Hacemos la sustitución y las debidas multiplicaciones y potencias.

V f = 3000000 {(1.2)}^{9}

V f = 3000000 (5.1597)

V f = 15479341.06

Entonces, al pasar 9 años la cuenta habrá acumulado un total de $15,479,341.06

3. ¿Cuánto dinero se obtendrá en 1 año y medio si se ha hecho una inversión de $560000 en una empresa que ofrece el 10% de tasa anual?
Para este último ejemplo tenemos que:
C = 560000
i = 10% = 0.1
t = 1 año y 6 meses = 1.5
Vf = ?

V f = 560000 {(1 + 0.1)}^{1.5}

V f = 560000 {(1.1)}^{1.5}

V f = 560000 (1.1536)

V f = 646066.25

Así, el dinero obtenido ha sido de $646066.25

Ejercicios

Calcula el interés compuesto en base a los siguientes enunciados.

Juan invierte $2000 en una cuenta de ahorros que paga un interés compuesto del 4% anual.

¿Cuánto dinero tendrá al final de 5 años?

María decide invertir $5000 en un bono que ofrece un interés compuesto del 6% anual.

Si el bono se deja sin tocar durante 10 años,

¿cuál será el valor del bono al final del período?

Pedro invierte $3000 en una cuenta de inversión que ofrece un interés compuesto del 8% anual.

Si decide reinvertir los intereses ganados al final de cada año,

¿cuánto dinero tendrá al final de 8 años?

Se hizo una inversión inicial de $1500000 con una tasa de interés compuesto anual del 12% en un periodo de 108 meses. Al finalizar el periodo ¿Cuál será el valor final, es decir, el monto total?

Si se tienen $750000 que han sido invertidos en una pequeña empresa que ofreció una tasa de interés compuesto anual de 5% ¿Cuánto dinero se obtendrá cuando transcurran 3 años?

Interés simple

Es el interés calculado solo sobre el capital inicial. La tasa de interés se aplica siempre sobre el mismo monto principal. Los intereses ganados no se agregan al capital, no hay capitalización. Es un método más sencillo de calcular intereses.
Para calcular este interés nos valdremos por la siguiente fórmula:

I = C i t

Donde I = Interés simple
C = Capital/monto inicial
i = Tasa de interés anual o mensual
t = Tiempo en años o meses

Como se puede apreciar, en este caso únicamente haremos una multiplicación debido a que, como ya se mencionó, es un interes menos complejo pues las cantidades no crecen tan exponencialmente como con el interés compuesto.
En breve, analizaremos algunos ejemplos sobre estos problemas.

Ejemplos

1. ¿Qué interés simple se recibirá dentro de 5 años si se ha hecho una inversión de $1300000 con una tasa de interés anual del 7%? Calcular también cuánto dinero se obtendrá en total tras generar el interés.
Comenzamos identificando y sustituyendo nuestros valores:
I = ?
t = 5
C= 1300000
t = 7 = 0.07

I = 1300000 (0.07) (5)

Efectuamos la multiplicación y tenemos que:

I = 455000

Sin embargo, todavía nos falta conocer el valor final, así que sumamos la inversión y el interés generado:

V f = 1300000 + 455000

V f = 1755000

Y así, el ejemplo queda resuelto, siendo un total de $1,755,000 tras haber generado un interés de $455,000.

2. Por una inversión de $45000 se aplica un interés simple del 3% anual. En 32 meses, ¿Qué interés se habrá generado?
Los datos que tenemos son:
I = ?
t = 32 meses = 2.6 años
C= 45000
t = 3 = 0.03

I = 45000 (2.6) (0.03)

I = 3510

El interés que se obtendrá será de $3510.

3. Para un préstamo de $8000 se tiene un interés simple de $500. ¿Cuál será la tasa de interés anual si el tiempo dado es de 1 año?
Para sustituir tenemos los siguientes datos
C= 8000
I= 500
i = ?
t = 1

500 = 8000 i (1)

En este caso tendremos que hacer un sencillo despeje a fin de conocer la tasa establecida.

\frac{500}{8000 (1)} = i

0.0625 = i

El valor queda expresado como decimal, por lo que se multiplica por 100 para obtener el valor en porcentaje.

6.25 = i

Así, nuestra tasa de interés anual para este caso es de 6.25%

Ejercicios

1. Resuelve los siguientes ejercicios sobre el tema recién visto.

Supongamos que tienes $2000 y decides invertirlo en un bono que ofrece un interés simple del 3% anual.

¿Cuánto interés ganarás después de 2 años?

Imagina que depositas $500 en una cuenta de ahorros que paga un interés simple del 4.5% anual.

¿Cuánto dinero tendrás al final de 3 años?

Si inviertes $3000 en un certificado de depósito que ofrece un interés simple del 2.5% anual,

¿cuál será el interés ganado después de 5 años?

Se han destinado $100000 para un préstamo de bonificación. Si a esa cantidad se le aplica un interés simple con tasa de 50%, al cabo de 2 años ¿Cuál será la cantidad final obtenida?

Cuál es el interés simple obtenido tras aplicar el 7% de tasa de interés a la cantidad de $15700 a lo largo de 14 años.

2. Finalmente, resuelve los siguientes ejercicios que combinan los 3 conceptos que vimos a lo largo de la proresión: Mensualidad, interés simple e interés compuesto.

Janet gana $2,000 al mes. Si ahorra el 20%, ¿cuánto ahorrará mensualmente?

Ana tiene una deuda de $20,000 con interés del 3% mensual y quiere saldarla en 2 años. ¿Cuál debe ser su pago mensual?

Esteban invierte $15,000 al 4% anual durante 8 años. ¿Cuánto tendrá al final aplicando interés compuesto anual?

Ana deposita $300 en una cuenta de ahorros por 8 años al 4% de interés anual. ¿Cuánto tendrá al final sumando el interés simple generado?

¿Cuál será la mensualidad a pagar por un monto de $55000 en un plazo de 35 meses?

Alejandro invirtió $700000 para el futuro de sus hijos. El plan ofrecido por el banco contempla una tasa de interés anual de 10%. ¿Cuánto será el interés generado pasados 10 años?

Un grupo de empresarios destinó $85000 para un proyecto, ¿Cuánto dinero obtendrán tras 19 meses si se les impuso una tasa de interés anual del 1.5%.

¿De qué manera todo esto se relaciona con el proyecto de vida?

Cuando logramos tener una noción básica sobre las matemáticas financieras somos más capaces de tomar decisiones razonables mediante la aplicación de las mismas.
Organizar nuestro dinero y saber cómo manejar nuestras finanzas nos ayuda a gestionarlas lo cual, de alguna forma, nos ayudan a alcanzar aquellas metas que nos planteamos.
El proyecto de vida se compone de todas nuestras aspiraciones, de las cuales algunas requieren de estabilidad económica, la cual es más fácil de sobrellevar cuando tenemos noción de esta rama: matemáticas financieras.

Resumen de la progresión

¿Listo para la prueba final? ¡Recuerda tomar tu tiempo para contestar cada enunciado! Esta vez serán tomados en cuenta para comparar tu progreso.